- •Вопросы 1й семестр 1 курс
- •Высказывания. Дизъюнкция. Конъюнция, импликация. Типы теорем. Доказать дизъюнктивную форму импликации. Доказать принцип контрапозиции.
- •1. 3.1. Высказывания
- •Понятие вектора. Линейная зависимость и линейная независимость векторов. Доказать теоремы о линейной зависимости.
- •Вектор (Гиббс) – математический объект, характеризуемый скалярной величиной, направлением и геометрическим характером сложения.
- •Доказать существование и единственность разложения по базису на плоскости и в пространстве.
- •Доказательство:
- •Скалярное произведение. Доказать его свойства.
- •Свойства скалярного произведения:
- •Дистрибутивность: .
- •Векторное произведение. Доказать его свойства.
- •Свойства векторного произведения:
- •Антикоммутативность: .
- •Дистрибутивность:
- •Смешанное произведение. Доказать критерий компланарности векторов.
- •Получить уравнение плоскости и прямой в пространстве.
- •Определение эллипса. Доказать его свойства.
- •Свойства эллипса
- •Доказательство:
- •Определение гиперболы. Доказать ее свойства.
- •Свойства гиперболы
- •Определение параболы. Доказать ее свойства.
- •Свойства параболы
- •Повехности второго порядка. Полчить уравнения цилиндрических поверхностей и поверхностей вращения.
- •3. Двуполостной гиперболоид:
- •Цилиндрические поверхности
- •9 . Гиперболический параболоид
- •Алгебраическая, тригонометрическая и показательная формы комплексного числа. Получить формулу Муавра и формулу извлечения корня n-ой степени из комплексного числа.
- •Решение:
- •Основная теорема алгебры. Доказать ее следствия.
- •Доказательство:
- •Доказательство леммы:
- •Доказательство:
- •Числовые множества, замкнутость. Показать непрерывность действительной оси. Понятие твг и тнг.
- •Бмп. Доказать свойства бмп.
- •Предел числовой последовательности. Доказать единственность предела последовательности.
- •Последовательности бывают:
- •Бмп (бесконечно малые последовательности);
- •3. Неограниченные;
- •Пример. Последовательность ограничена, но не является бмп.
- •Показать существование предела последовательности Бернулли. Число e.
- •Доказать принципы компактности и полноты.
- •Доказать основные теоремы о пределах.
- •Доказать существование первого замечательного предела.
- •Доказать существование второго замечательного предела.
- •Непрерывность функции. Доказать критерий непрерывности.
- •Сравнение функции в окрестности точки. Доказать формулы эквивалентности.
- •Производная функции (определение. Геометрический и физический смысл). Доказать правила дифференцирования.
- •Доказать теоремы о производной композиции функции, производная обратной функции и производной функции, заданной параметрически.
- •Доказать формулы для производных основных элементарных функций.
- •Дифференциал функции. Геометрический смысл производной и дифференциала.
- •Геометрический смысл дифференциала
- •Дифференциал функции
- •Физический смысл дифференциала
- •Первообразная и неопределенный интеграл. Доказать свойства неопределенного интеграла.
- •Доказать теоремы Лагранжа, Коши и Лопиталя.
- •Доказать формулу Тейлора.
- •Монотонность и экстремумы функции. Доказать необходимое и достаточное условие.
- •Выпуклость функци. Доказать необходимое и дотаточное условие для точки перегиба функции.
- •Конструкция определенного интеграла Римана.
- •Доказать свойства определенного интеграла и формулу Ньютона-Лейбница. Не Формула Ньютона-Лейбница
- •Несобственные интегралы первого рода. Признаки сходимости.
- •Несобственные интегралы второго рода. Признаки сходимости.
Монотонность и экстремумы функции. Доказать необходимое и достаточное условие.
Выпуклость функци. Доказать необходимое и дотаточное условие для точки перегиба функции.
Конструкция определенного интеграла Римана.
Пусть функция определена на отрезке . Разобьем этот отрезок на произвольных частей точками разбиения . В каждом из полученных отрезков выберем произвольную точку . Через обозначим длину отрезка . Обозначим сумму , которую назовем интегральной суммой Римана функции на отрезке , соответствующей данному разбиению отрезка и данному выбору точек .
Геометрический смысл интегральной суммы заключается в том, что это сумма площадей прямоугольников с основаниями и высотой (при выполнении условия ).
Обозначим через длину наибольшего отрезка разбиения : .
Определение 1. Если существует конечный предел интегральной суммы при и при условии, что он не зависит от разбиения отрезка и от выбора точек , то этот предел называется определенным интегралом Римана от функции на отрезке и обозначается .
Другими словами, : . Нетрудно видеть, что мы дали определение интеграла Римана в духе определения предела по Коши.
Будет полезным дать определение в духе определения предела по Гейне.
Определение 2. Функцию , для которой существует предел , называют интегрируемой по Риману. Множество всех интегрируемых по Риману на отрезке функций обозначают .
Доказать свойства определенного интеграла и формулу Ньютона-Лейбница. Не Формула Ньютона-Лейбница
Т е о р е м а. Если функция интегрируема на отрезке и непрерывна в точке , то функция
|
(1)
|
дифференцируема в точке и
. |
(2)
|
Д о к а з а т е л ь с т в о. Покажем, что
,
где . Оценим модуль разности .
Заметим что и, следовательно, .
Поэтому будем иметь
|
(3)
|
Пусть задано . В силу непрерывности функции в точке , существует такое , что если и , то
|
(4)
|
Выберем так, что . Тогда для значении на отрезке, по которому ведется интегрирование, будем иметь и, следовательно, из (3) и (4) получим , а это и означает, что .
В том случае, когда совпадает с одним из концов отрезка , под следует подразумевать соответствующую одностороннюю производную функции .
Т е о р е м а 2 ( основная теорема интегрального исчисления ). Пусть функция непрерывна на . Если функция является её произвольной первообразной на этом отрезке, то
Эта формула называется формулой Ньютона-Лейбница.
Д о к а з а т е л ь с т в о. Функция , как известно, является первообразной для на .
Таким образом, функции и две первообразные одной и той же функции на отрезке , поэтому
, ,
где некоторая постоянная, т. е.
При имеем
откуда
.
Следовательно,
.
Полагая здесь , получаем формулу
,
из которой следует, что определенный интеграл от функции на равен приращению какой-либо первообразной на этом отрезке.
Формула Ньютана-Лейюница
является основной формулой вычисления определенного интеграла.