- •Вопросы 1й семестр 1 курс
- •Высказывания. Дизъюнкция. Конъюнция, импликация. Типы теорем. Доказать дизъюнктивную форму импликации. Доказать принцип контрапозиции.
- •1. 3.1. Высказывания
- •Понятие вектора. Линейная зависимость и линейная независимость векторов. Доказать теоремы о линейной зависимости.
- •Вектор (Гиббс) – математический объект, характеризуемый скалярной величиной, направлением и геометрическим характером сложения.
- •Доказать существование и единственность разложения по базису на плоскости и в пространстве.
- •Доказательство:
- •Скалярное произведение. Доказать его свойства.
- •Свойства скалярного произведения:
- •Дистрибутивность: .
- •Векторное произведение. Доказать его свойства.
- •Свойства векторного произведения:
- •Антикоммутативность: .
- •Дистрибутивность:
- •Смешанное произведение. Доказать критерий компланарности векторов.
- •Получить уравнение плоскости и прямой в пространстве.
- •Определение эллипса. Доказать его свойства.
- •Свойства эллипса
- •Доказательство:
- •Определение гиперболы. Доказать ее свойства.
- •Свойства гиперболы
- •Определение параболы. Доказать ее свойства.
- •Свойства параболы
- •Повехности второго порядка. Полчить уравнения цилиндрических поверхностей и поверхностей вращения.
- •3. Двуполостной гиперболоид:
- •Цилиндрические поверхности
- •9 . Гиперболический параболоид
- •Алгебраическая, тригонометрическая и показательная формы комплексного числа. Получить формулу Муавра и формулу извлечения корня n-ой степени из комплексного числа.
- •Решение:
- •Основная теорема алгебры. Доказать ее следствия.
- •Доказательство:
- •Доказательство леммы:
- •Доказательство:
- •Числовые множества, замкнутость. Показать непрерывность действительной оси. Понятие твг и тнг.
- •Бмп. Доказать свойства бмп.
- •Предел числовой последовательности. Доказать единственность предела последовательности.
- •Последовательности бывают:
- •Бмп (бесконечно малые последовательности);
- •3. Неограниченные;
- •Пример. Последовательность ограничена, но не является бмп.
- •Показать существование предела последовательности Бернулли. Число e.
- •Доказать принципы компактности и полноты.
- •Доказать основные теоремы о пределах.
- •Доказать существование первого замечательного предела.
- •Доказать существование второго замечательного предела.
- •Непрерывность функции. Доказать критерий непрерывности.
- •Сравнение функции в окрестности точки. Доказать формулы эквивалентности.
- •Производная функции (определение. Геометрический и физический смысл). Доказать правила дифференцирования.
- •Доказать теоремы о производной композиции функции, производная обратной функции и производной функции, заданной параметрически.
- •Доказать формулы для производных основных элементарных функций.
- •Дифференциал функции. Геометрический смысл производной и дифференциала.
- •Геометрический смысл дифференциала
- •Дифференциал функции
- •Физический смысл дифференциала
- •Первообразная и неопределенный интеграл. Доказать свойства неопределенного интеграла.
- •Доказать теоремы Лагранжа, Коши и Лопиталя.
- •Доказать формулу Тейлора.
- •Монотонность и экстремумы функции. Доказать необходимое и достаточное условие.
- •Выпуклость функци. Доказать необходимое и дотаточное условие для точки перегиба функции.
- •Конструкция определенного интеграла Римана.
- •Доказать свойства определенного интеграла и формулу Ньютона-Лейбница. Не Формула Ньютона-Лейбница
- •Несобственные интегралы первого рода. Признаки сходимости.
- •Несобственные интегралы второго рода. Признаки сходимости.
Бмп. Доказать свойства бмп.
Последовательность называется БМП (бесконечно малой последовательностью) , если для любого положительного (эпсилон) найдется номер, зависящий от , такой, что, как только n>N выполняется неравенство
( )
Теорема 1. Сумма двух БМП есть БМП.
Доказательство:
П усть и - БМП. Тогда соотношение (*) имеет место для каждой из данных последовательностей. Выберем , тогда для последовательности найдется номер , начиная с которого , а для последовательности найдется номер начиная с которого
Рассмотрим последовательность . Пусть тогда, начиная с номера , , т.е. для , начиная с номера . Это означает, что последовательность является БМП.
Следствие. Сумма любого конечного числа БМП есть БМП. (Доказать самостоятельно).
Теорема 2. БМП ограничена.
Доказательство:
Пусть - БМП. Тогда для нее имеет место соотношение (*), т.е. начиная с некоторого члены войдут в -коридор. Другими словами, из этого -коридора выпадает не более чем конечное число первых членов последовательно-
сти . Пусть , тогда , что означает ограниченность последовательности .
Теорема 3. Если - БМП, а ограничена, то последовательность является БМП.
Доказательство:
Так как -БМП, то имеет место соотношение (*). Выберем и найдем номер , начиная с которого члены последовательности войдут в -коридор, где число . Тогда, начиная с номера , будет выполняться неравенство .
Следствие 1. Произведение двух БМП есть БМП. (Доказать самостоятельно).
Следствие 2. Произведение любого конечного БМП есть БМП. (Доказать самостоятельно).
Теорема 4. Для того, чтобы последовательность была БМП, необходимо и достаточно, чтобы была ББП.
Доказательство:
Необходимость. Пусть - ББП. Тогда имеет место соотношение (*), т.е., начиная с некоторого номера . Пусть , тогда , т.е. , что означает: - ББП.
Достаточность доказать самостоятельно.
Предел числовой последовательности. Доказать единственность предела последовательности.
Если последовательность сходится, то она имеет единственный предел.
Доказательство:
. Пусть последовательность имеет два предела, т.е. , , для определенности. Так как то имеет место соотношение (**), т.е. начиная с некоторого номера . Так как то выполняется (**), т.е. начиная с некоторого номера . Пусть тогда, начиная с номера . Пусть Тогда пересечение этих двух множеств, задаваемых неравенствами, пусто, т.е. нашлось, по крайней мере, одно для которого не выполняется (**). Это означает, что предела не существует.
Доказать свойства последовательностей, имеющих пределы.
Последовательности бывают:
1. ограниченные;
Бмп (бесконечно малые последовательности);
3. Неограниченные;
4. ББП (бесконечно большие последовательности).
Определение 2.Последовательность называется ограниченной, если существуют такие действительные числа m и M ( ), что (для любого натурального числа n).
Определение 2*.Пусть (А – максимальное из чисел m и M). Тогда последовательность называется ограниченной, если .
Пример. Последовательность 0,1,0,1, ... ограничена, т.к.
Определение 3.Последовательность называется БМП (бесконечно малой последовательностью) , если для любого положительного (эпсилон) найдется номер, зависящий от , такой, что, как только n>N выполняется неравенство
( )
Пример. Рассмотрим последовательность . Для того, чтобы необходимо, чтобы , т.е. ( – целая часть числа ). Задавая некоторые значения, будем получать номер , начиная с которого члены последовательности попадут в -коридор. Например, если =10, то =0, тогда =1; если =1, то =1, тогда =2; если =0,1, то =10, тогда =11, и т.д.
Замечание. Обычно БМП обозначают первыми буквами алфавита.