DifYr

Теорема 1. (Теорема Кош´и) Пусть:

функция f : D -! R; D domf R2 непрерывна в области D;

функция f : D -! R имеет непрерывную в области D частную произ-

водную по y, @y@f : D -! R.

Тогда для каждой внутренней точки (x0; y0) 2 D существует, и притом единственное, решение y = '(x) дифференциального уравнения

определённое на некотором интервале (a; b), содержащем точку x0, принимающее при x = x0 значение '(x0) = y0.

Доказательство теоремы опустим.

First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit

Геометрическая интерпретация теоремы 1.

Пусть для уравнения (1.13) выполнены условия теоремы 1 в области D. Тогда

для каждой внутренней точки (x0; y0) области D существует единственное решение задачи Кош´и с на-

чальными данными x0; y0, график которого является частью интегральной кривой, проходящей через точку (x0; y0);

First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit

через каждую внутреннюю точку (x0; y0) области D проходит, и притом только одна, интегральная кри- вая уравнения (1.13), частью которой является график решения задачи Кош´и с начальными данными x0; y0;

First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit

интегральные кривые заполняют всю область D и не пересекаются между собой.

First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit

Определение 1. Однопараметрическое семейство функций (x; y; C) = 0; C 2 R, называется общим интегралом дифференциального уравнения (1.8) в области D dom f, если:

для любой точки (x0; y0) 2 D существует C 2 R такое, что соотношение (x; y; C ) = 0 задаёт инте-

гральную кривую, проходящую через точку (x0; y0) 2

D;

для любой интегральной кривой (x; y) = 0 расположенной в области D существует C 2 R такое, что для всех (x; y) 2 D имеет место (x; y) = (x; y; C ).

First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit

Опишем общий подход к решению дифференциального уравнения (1.8), то есть описанию всего множества интегральных кривых в области D, области определения уравнения (1.8):

в области D или dom f выделяют подобласти Dk; k 2 N; в каждой из которых выполнены условия теоремы 1;

в каждой области Dk; k 2 N; множество интегральных кривых описывают общим интегралом или общим решением в области Dk;

описывают интегральные кривые лежащие в области D или dom f и не лежащие внутри ни одной из обла-

стей Dk; k 2 N.

First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit

1.5. Дифференциальные уравнения первого порядка, разрешённые относительно

производной

Рассмотрим некоторые типы дифференциальных уравнений первого порядка:

First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit

I. y0 = f(x) – простейшее;

II. = f(x)g(y) – с разделяющими переменными;

III. dy = f(x; y) – однородные;

dx

IV. y0 + P(x) y = Q(x) – линейные, если y = y(x); V. x0 + P(y) x = Q(y) – линейные, если x = x(y); VI. y0 + p(x) y = q(x) y –

VII. x0 + p(y) x = q(y) x – уравнения Бернулли, если x = x(y); VIII. M(x; y)dx + N(x; y)dy = 0 – уравнения в полных дифференциа-

лах.

First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit