DifYr

Тип уравнения (1.30) – уравнение с разделяющимися переменными.

Разделяем переменные:

является общим интегралом в верхней или нижней полуплоскости.

First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit

Вычисляем интегралы:

y2

2

= x + C; C 2 R

или

y2 = 2x + C; C 2 R:

Ответ: y2 = 2x + C; C 2 R; есть общий интеграл уравнения (1.30) в верхней или нижней полуплоскости.

y0 = y1

Ответ: y2 = 2x + C; C 2 R есть общий интеграл уравне- ния (1.30) в верхней или нижней полуплоскости.

First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit

Пример 5. Решить дифференциальное уравнение

y0 = yx

Ответ: y2 - x2 = C; C 2 R есть общий интеграл уравне- ния (1.31) в верхней или нижней полуплоскости.

First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit

Пример 6. Решить дифференциальное уравнение

y0 = - yx

Ответ: y2 + x2 = C; C > 0 есть общий интеграл уравне- ния (1.32) в верхней или нижней полуплоскости.

First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit

Пример 7. Решить дифференциальное уравнение

y0 = - yx

Ответ: y = Cx ; C 2 R есть общий интеграл уравне- ния (1.33) в левой или правой полуплоскости.

First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit

Пример 8. Решить дифференциальное уравнение

y0 = y - 1

Ответ: y = Cex; C 2 R есть общее решение уравне- ния (1.34) в R2.

First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit

Пример 9. Решить дифференциальное уравнение

y0 = y2 - 1

Ответ: yy-+11 = Cex; C 2 R есть общий интеграл уравне- ния (1.35) в области

f(x; y) 2 R2 j x 2 R; y > -1g

или в области

f(x; y) 2 R2 j x 2 R; y < -1g

и ещё решение y = -1; x 2 R.

First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit

Пример 10. Решить дифференциальное уравнение

y0 = sin y

Ответ: tg y2 = Cex; C 2 Rn f0g есть общий интеграл урав- нения (1.36) в областях

f(x; y) 2 R2 j x 2 R; y 2 (k ; k + ); k 2 Zg

и ещё решения y = k ; x 2 R; k 2 Z.

First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit

1.8.Однородные уравнения

Для определения однородных дифференциальных уравнений нам потребуется новое понятие однородной функции двух переменных степени однородности n.

First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit

Определение 3. Функция f(x; y) называется однородной функцией степени однородности n относительно своих аргументов x и y, если для любого значения t имеет место тождество

First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit