DifYr

1.4.

Теорема Кош´и

Рассмотренный выше пример простейшего дифферен-

циального уравнения (1.7) первого порядка, а так-

же геометрическая интерпретация дифференциального

уравнения первого порядка показывают, что дифферен-

циальное уравнение первого порядка вида y0 = f(x; y),

где

f : D - R; D dom f R2;

множество решений.

имеет бесчисленное !

First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit

Для того чтобы из этого бесчисленного множества ре-

шений выделить определенное решение, обычно прихо-

дится задавать значение искомой функции y0 при неко-

тором значении аргумента x0. Пару чисел x0; y0 называ-

ют начальными условиями, или начальными данными,

решения.

Геометрически задание начальных условий равносиль-

но заданию точки (x0; y0) 2 D – ¾начальной точки¿ на

плоскости xOy.

First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit

Будем говорить, что решение y = '(x); x 2 (a; b); урав-

нения y0 = f(x; y) удовлетворяет начальным условиям

x0 2 (a; b); y0 2 R,

если '(x0) = y0, то

есть, если

(x0; y0) 2 graf '.

Отыскание решения

дифференциального

уравнения

y0 = f(x; y), удовлетворяющего заданным начальным

условиям x0 2 (a; b); y0 2 R является одной из важней-

ших задач теории дифференциальных уравнений. Эта

задача называется задачей Кош´и.

First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit

Естественно возникает вопрос, всегда ли существует

решение задачи Кош´и, и, если существует, будет ли оно

единственным.

Ответы на эти вопросы дает теорема Кош´и – теорема

существования и единственности решения дифференци-

ального уравнения первого порядка, разрешённого от-

носительно производной.

First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit