DifYr

Метод решения: уравнение (1.57) приводится к линейному после предварительного деления обеих частей уравнения (1.57) на y и последующей подстановки z = y1- .

First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit

Действительно, если z = y1- , то

z0 = (1 - )y- y0:

Приведение уравнение (1.57) к линейному:

делим обе частей уравнения (1.57) на y

y- y0 + p(x) y1- = q(x)

First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit

умножаем на (1- ) обе части полученного уравнения

(1 - )y- y0 + (1 - )p(x) y1- = (1 - )q(x)

First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit

делаем замену z = y1-

First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit

получили линейное уравнение относительно z

z0 + P(x) z = Q(x)

First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit

находим общее решение последнего линейного уравнения и заменяем в нём z = y1- , получаем совокупность решений уравнения Бернулли.

Примечание. Если > 0, то к найденным решениям нужно добавить решение y = 0, утерянное при делении на y.

First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit

1.11.Уравнения в полных дифференциалах

Рассмотрим уравнение первого порядка, заданное в дифференциальной форме:

где M; N : D -! R, а D R2 – область определения дифференциального уравнения (1.58).

First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit

Если область определения дифференциального уравнения (1.58) не задана и M; N – элементарные функции, то областью определения дифференциального уравнения (1.58) считается

D = domM \ domN:

First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit

Если левая часть уравнения (1.58) представляет собой полный дифференциал некоторой функции U : D -! R, т. е. если для всех (x; y) 2 D

то это уравнение называется уравнением в полных дифференциалах.

First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit

Последнее тождество равносильно двум:

для всех (x; y) 2 D.

First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit