DifYr
.pdf
Итак, если уравнение (1.58) есть уравнение в полных дифференциалах, то оно принимает вид
dU(x; y) = 0:
Покажем, что U(x; y) = C есть общий интеграл уравнения (1.58) в области D.
First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit
Фиксируем произвольную внутреннюю точку (x0; y0) 2
D.
Положим C = U(x0; y0).
Покажем, что U(x; y) = C есть интегральная кривая уравнения (1.58), проходящая через точку (x0; y0) 2 D.
First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit
Если = N(x; y) 6= 0 в точке (x0; y0), то уравнение U(x; y) = U(x0; y0) определяет y как неявную функцию от x:
y = '(x); x 2 (x0 - ; x0 + ) и '(x0) = y0:
First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit
Так как, U(x; '(x)) = U(x0; y0) для всех x 2 (x0 - ; x0 + ), то
dU(x; '(x)) |
|
|
|
|
||
|
@U(x; '(x)) |
dx + |
@U(x; '(x)) |
d'(x) |
||
@x |
|
@y |
|
|||
M(x; '(x))dx + N(x; '(x))d'(x) 0
на интервале (x0 - ; x0 + ).
First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit
Следовательно, y = '(x) есть решение уравнения (1.58) на интервале (x0 - ; x0 + ), график которого является частью интегральной кривой проходящей через точку
(x0; y0).
В силу теоремы 1 (Кош´и), через каждую внутреннею точку проходит единственная интегральная кривая, в
данном случае U(x; y) = U(x0; y0) – уравнение этой интегральной кривой.
First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit
Если же нение U(x; y) функцию от y:
=M(x; y) 6= 0 в точке (x0; y0), то урав-
=U(x0; y0) определяет x как неявную
x = '(y); y 2 (y0 - ; y0 + ) и '(y0) = x0:
First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit
Так как, U('(y); y) = U(x0; y0) для всех y 2 (y0 - ; y0 + ), то
dU('(y); y) |
|
|
|
|
||
|
@U('(y); y) |
d'(y) + |
@U('(y); y) |
dy |
||
@x |
|
@y |
|
|||
M('(y); y)d'(y) + N('(y); y)dy 0
на интервале (y0 - ; y0 + ).
First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit
Следовательно, x = '(y) есть решение уравнения (1.58) на интервале (y0 - ; y0 + ), график которого является частью интегральной кривой проходящей через точку
(x0; y0).
В силу теоремы 1 (Кош´и), через каждую внутреннюю точку проходит единственная интегральная кривая, в
данном случае U(x; y) = U(x0; y0) – уравнение этой интегральной кривой.
First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit
Фиксируем |
произвольную |
интегральную |
кривую |
(x; y) = 0, лежащую в области D. |
|
||
Покажем, |
что существует |
C такое, что |
для всех |
(x; y) 2 D |
(x; y) = U(x; y) - C : |
|
|
|
|
||
First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit
Пусть (x1; y1) точка интегральной кривой (x; y) = 0,
в которой |
@ (x1;y1) |
6= 0 h или |
@ (x1;y1) |
6= 0i. |
||
@y |
|
@x |
|
|||
Тогда
y = '(x); x 2 (a; b)[x = '(y); y 2 (c; d)];
неявно заданная функция соотношением (x; y) = 0 в области (a; b) (c; d) D.
First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit