DifYr

Примеры.

1. Функция f(x; y) = xy2 + x2y является однородной функцией степени однородности 3 относительно своих аргументов x и y, так как для любого значения t имеет место тождество

f(t x; t y) = (tx)(ty)2 + (tx)2(ty) =

= t3(xy2 + x2y) = t3 f(x; y):

First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit

2. Функция f(x; y) = xx+-yy является однородной функцией нулевой степени однородности относительно своих аргументов x и y, так как для любого значения t имеет место тождество

f(t x; t y) = (tx) + (ty) = x + y = t0 f(x; y):

(tx) - (ty) x - y

First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit

3. Функция f(x; y) = x2 + y2 ln yx является однородной функцией степени однородности 2 относительно своих аргументов x и y, так как для любого значения t имеет место тождество

f(t x; t y) = (tx)2 + (ty)2 ln ((tytx)) =

= t2 x2 + y2 ln yx = t2 f(x; y):

First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit

4. Функция f(x; y) = y sin yx является однородной функцией степени однородности 1 относительно своих аргументов x и y, так как для любого значения t имеет место тождество

First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit

5. Функция f(x; y) = y2 + x не является однородной

функцией относительно своих аргументов x и y, так как не существует n, при котором имеет место тожде-

ство (1.37).

First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit

Отметим очевидные свойства однородных функций:

Сумма однородных функций одинаковой степени однородности есть однородная функция той же степени однородности.

First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit

Произведение однородных функций есть однородная функция, степень однородности которой равна сумме степеней однородности сомножителей.

Частное однородных функций есть однородная функция, степень однородности которой равна разности степеней однородности делимого и делителя.

First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit

Определение 4. Дифференциальное уравнение

называется однородным, если его правая часть f(x; y) есть однородная функция нулевой степени однородности относительно своих аргументов.

First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit

Легко видеть, что всякое уравнение вида:

P(x; y)dx + Q(x; y)dy = 0;

где P(x; y)) и Q(x; y) - однородные функции одинаковой степени однородности есть однородное дифференциальное уравнение.

Покажем, что однородная функция нулевой степени однородности относительно своих аргументов x и y фак-

тически зависит от одного аргумента – отношения yx.

First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit

Действительно, так как f(x; y) есть однородная функция нулевой степени однородности относительно своих аргументов, то для любого t имеем

f(tx; ty) = f(x; y):

В частности, полагая t = x1, получаем: f(x; y) = f 1; yx = ' yx :

First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit