DifYr
.pdf
Примеры дифференциальных уравнений первого порядка:
xy0 - y = 0; |
x - yx0 = 0; |
||
y0 |
= - yx; |
y0 |
= x2 + y2; |
xy03 = 1 + y0; |
y = ey0y02; |
||
y0 |
= x; |
dx |
= - kx; где k > 0: |
dt |
|||
First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit
Решением дифференциального уравнения первого порядка
F (x; y; y0) = 0
на интервале (a; b) называется всякая дифференцируемая функция ' : (a; b) -! R, которая, будучи подставлена в уравнение, обратит его в тождество на интервале (a; b), то есть
8x 2 (a; b) : F (x; '(x); '0(x)) = 0:
First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit
Мы ввели новые понятия, по отношению к которым возникают следующие вопросы:
существует ли решение дифференциального уравнения (1.5) на некотором интервале (a; b)?
если существует, то единственное ли это решение?
если существует и единственное, то, как его найти?
если существует и не единственное, то, как описать совокупность всех решений?
First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit
Простейшее дифференциальное уравнение первого порядка
dy |
= f(x); |
(1.7) |
||
dx |
|
|||
|
|
|||
где f : (a; b) -! R непрерывна на (a; b), рассматривается в курсе интегрального исчисления. Показано, что
в этом простейшем случае все функции
Z
y = f(x) dx + C; C 2 R;
Z
где f(x) dx одна из первообразных для функции f на
(a; b), являются решениями простейшего дифференциального уравнения (1.7).
First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit
ИТАК, ЕСЛИ НА НЕКОТОРОМ ИНТЕРВАЛЕ
(a;b) СУЩЕСТВУЕТ РЕШЕНИЕ, ТО ИХ БЕСКО-
НЕЧНО МНОГО!
КАК ОПИСАТЬ ВСЮ СОВОКУПНОСТЬ РЕШЕНИЙ
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО УРАВНЕНИЯ (1.6)?
First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit
Пусть задано дифференциальное уравнение первого порядка разрешённое относительно производной:
dy |
= f(x; y); |
(1.8) |
||
dx |
|
|||
|
|
|||
где f : D -! R; D R2.
Область D R2 определения функции f называют областью определения дифференциального уравнения (1.8).
First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit
Замечание. Часто при задании дифференциального уравнения его область определения не указывается. Если же функция f элементарная, то областью определения уравнения (1.8) считается естественная область определения функции f, то есть D = dom f.
First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit
Дифференциальное уравнение первого порядка, разрешенное относительно производной, всегда можно записать в так называемой дифференциальной форме:
M(x; y) dx + N(x; y) dy = 0; |
(1.9) |
определения
где M; N : D - R, а D R2 – область определения дифференциального уравнения (1.9). Если область дифференциального уравнения (1.9) не за-
!
дана и M; N – элементарные функции, то областью определения дифференциального уравнения (1.9) считается dom M \ dom N.
First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit
Действительно, если y0 = f(x; y), то
ddyx = f(x; y);
а значит,
f(x; y) dx + (-1) dy = 0:
First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit
Наоборот, всякое уравнение вида (1.9), если N(x; y) 6= 0 в области D, можно разрешить относительно производной:
dy |
= - |
M(x; y) |
; |
dx |
|
||
|
N(x; y) |
||
т. е. записать в виде: y0 = f(x; y).
Если же M(x; y) 6= 0 в области D, то уравнение вида (1.9) можно разрешить относительно производной:
|
dx |
= - |
|
N(x; y) |
; |
|
|||
dy |
M(x; y) |
|
|||||||
|
|
|
|
|
|||||
т. е. записать в виде: x0 |
= g(x; y) = |
|
1 |
. |
|||||
f(x;y) |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||
First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit