DifYr

Пусть, далее, точка M0(x0; y0) изолированная особая точка дифференциального уравнения (1.69), т.е.

P(x0; y0) = Q(x0; y0) = 0;

а функции P; Q непрерывны и имеют непрерывные частные производные в некоторой "- окрестности точки

M0.

First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit

Рассмотрим несколько типичных особых точек уравнения (1.69).

Пример 17. Решить уравнение

First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit

Решение.

Так как M(x; y) = 2y; N(x; y) = x, то область определения уравнения (1.70) есть R2.

Определим тип уравнения.

First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit

Тип уравнения (1.70) – уравнение с разделяющимися переменными.

Так как @M@y = 2, а @N@x = - 1, то уравнение (1.70) не является уравнением в полных дифференциалах.

Попробуем найти интегрирующий множитель.

First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit

Будем искать интегрирующий множитель = (z); z = '(x; y). Запишем

First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit

Положим z = '(x; y) = x. Тогда

Решая уравнение (1.71) получим = x13.

First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit

После умножения уравнения (1.70) на интегрирующий множитель = x13 получим уравнение в полных дифференциалах

First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit

Находим функцию U:

то есть

'0(y) = 0 и '(y) = C:

First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit

Итак, U(x; y) = - xy2 + C и y = Cx2 есть общее решение уравнения (1.70) в области R2 n f(0; 0)g.

First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit

Итак, семейство ветвей парабол y = Cx2 есть общее решение в R2 n f(0; 0)g.

Через начало координат не проходит ни одна интегральная кривая уравнения (1.70).

Начало координат – особая точка, называемая узлом.

First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit