DifYr

y0 = 2yx

Ответ: y = Cx2; C 2 R; есть общее решение уравне- ния (1.70) в R2 n f(0; 0)g.

Начало координат – особая точка "узел".

First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit

Пример 18. Решить уравнение

First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit

Решение. Так как M(x; y) = x; N(x; y) = y, то область определения уравнения (1.72) есть R2.

Определим тип уравнения.

First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit

Тип уравнения (1.72) – уравнение с разделяющимися переменными.

Так как @M@y = 0 и @N@x = 0 для всех (x; y) 2 R2, то уравнение (1.72) – уравнение в полных дифференциалах.

First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit

Легко видеть, что

x dx + y dy = dx2 + y2: 2

First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit

Следовательно, соотношение

x2 + y2 = C; C > 0;

является общим интегралом в пространстве R2n f(0; 0)g.

First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit

Итак, семейство окружностей

y2 + x2 = C; C > 0;

есть общий интеграл в R2 n f(0; 0)g.

Через начало координат не проходит ни одна интегральная кривая уравнения (1.72).

Начало координат – особая точка, называемая центром.

First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit

Ответ: y2 + x2 = C; C > 0; есть общий интеграл уравнения (1.72) в R2 n f(0; 0)g.

Начало координат – особая точка, называемая центром. y0 = -yx

Ответ: y2 + x2 = C; C > 0; есть общий интеграл уравнения (1.72) в в R2 n f(0; 0)g.

Начало координат – особая точка "центр".

First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit

Пример 19. Решить уравнение

First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit

Решение.

Так как M(x; y) = x; N(x; y) = - y, то область определения уравнения (1.73) есть всё пространство R2.

Определим тип уравнения.

First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit