DifYr

1.12.Интегрирующий множитель

Пусть задано дифференциальное уравнение

где M; N : D -! R, а D R2 – область определения дифференциального уравнения (1.65).

First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit

Если левая часть уравнения (1.65) не есть полный дифференциал, возникает вопрос - нельзя ли найти такую функцию : D -! R, по умножении на которую левая часть уравнения (1.65) станет полным дифференциалом некоторой функции U : D -! R в области D.

Такая функция : D -! R называется интегрирующим множителем.

First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit

Таким образом, если : D -! R интегрирующий множитель, то мы имеем:

(x; y) [M(x; y)dx + N(x; y)dy] = dU(x; y);

то есть

@U@x = M; @U@y = N:

First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit

Предположим, что функции ; M; N : D -! R имеют непрерывные частные производные в D. Тогда

@( M) = @( N); @y @x

или

First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit

First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit

Итак, интегрирующий множитель уравнения (1.65) есть решение уравнения (1.67) в частных производных. Задача интегрирования такого уравнения в общем случае не проще, чем задача решения уравнения (1.65).

First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit

Конечно, нам достаточно знать только одно решение уравнения (1.67); иногда, по каким-нибудь особенностям уравнения (1.67), удаётся найти такое частное ре-

шение, и тогда интеграция уравнения (1.65) сводится к квадратурам.

First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit

Рассмотрим, например, случай, когда существует интегрирующий множитель, являющийся функцией z, а z = '(x; y). Тогда уравнение (1.67) превращается в обыкновенное дифференциальное уравнение разрешённое относительно производной

First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit

Ясно, что для существования интегрирующего множителя, зависящего от z, необходимо и достаточно, чтобы правая часть равенства (1.68) была функцией одного z; это условие позволяет подбирать функцию z = '(x; y) экспериментально и тогда ln найдётся квадратурой.

First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit

1.13.Особые точки

Пусть задано дифференциальное уравнение

где P; Q : D -! R, а D R2 – область определения дифференциального уравнения (1.69).

First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit