DifYr
.pdf
Пример 2. Решить уравнение |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
y0 = |
1 |
: |
|
|
|
|
|
|
|
|
(1.19) |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Решение. Область определения уравнения (1.19): |
|||||||||||||||||||||
D = |
f |
(x; y) |
j |
x D1 |
2 R |
[ |
( |
) |
D2 |
2 R |
g : |
||||||||||
|
|
|
|
< 0; y |
|
|
g |
|
f |
x; y |
j x > 0; y |
|
|
||||||||
|
| |
|
|
|
{z |
|
|
} |
|
|
| |
|
|
|
{z |
|
|
} |
|||
Правая часть уравнения (1.19) непрерывна на интервалах (-1; 0) и (0; 1).
Определим тип уравнения.
First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit
Общее решение уравнения (1.19) в области D1 (при x0 < 0) имеет вид
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y = Z |
dt |
+ y0 = ln jxj - ln jx0j + y0 = ln |
x |
+ y0; |
||||||
|
|
|
||||||||
t |
x0 |
|||||||||
x0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
а в области D2 (при x0 > 0): |
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y = Z |
dt |
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
+ y0 |
= ln |
|
+ y0: |
|
||
|
|
|
t |
x0 |
|
|||||
|
|
|
x0 |
|
|
|
|
|
|
|
y0 = x1
First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit
1.7.Уравнения с разделяющимися переменными
Уравнение вида: |
|
|
|
|
|
|
|
dy |
= f(x)g(y); |
(1.20) |
|
|
|
dx |
|
||
где f : (a; b) - |
|
|
R непрерывные |
||
R и g; g0 : (c; d) - |
|||||
! |
|
|
|
! |
|
функции на (a; b) и (c; d), соответственно, называется уравнением с разделяющимися переменными.
First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit
Метод решения дифференциального уравнения (1.20):
First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit
Разделяем переменные, т.е. при помощи умножения и деления приводим уравнение (1.20) к такой форме, чтобы в одну часть входила только функция от x и дифференциал dx, а в другую часть – функция от y и dy. В данном случае надо умножить обе части уравнения на dx и разделить на g(y); мы получим два уравнения:
dy |
= f(x) dx; g(y) 6= 0 |
(1.21) |
|
|
|
||
g(y) |
|||
|
|
и |
|
|
|
g(y) = 0: |
(1.22) |
First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit
Переменные разделены. Теперь рассуждаем так: вообразим, что нам известна переменная y как функция переменной x, являющаяся решением уравнения (1.20) на некотором интервале ( ; ); тогда в обеих частях уравнения (1.21) стоят тождественно равные между собой дифференциалы на интервале ( ; ); только в правой части этот дифференциал выражен непосред-
ственно через независимое переменное x, а в левой части – через посредство y, являющегося функцией от x на интервале ( ; ). Учитывая инвариантность формы дифференциала первого порядка, получаем, что если дифференциалы равны на интервале ( ; ), то их первообразные на интервале ( ; ) могут различаться только постоянным слагаемым; мы можем интегрировать левую часть по y, а правую по x. Получим:
Z |
dy |
Z f(x) dx + C; g(y) 6= 0 |
(1.23) |
|
|
= |
|||
g(y) |
||||
|
|
|
и |
|
|
|
|
g(y) = 0; |
(1.24) |
где С - произвольная постоянная, то есть при каждом фиксированном C 2 R соотношение (1.23) есть уравнение некоторой интегральной кривой в области
D.
First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit
Пусть уравнение (1.24) имеет корень y1. Тогда непосредственно убеждаемся, что, подставляя y = y1 в обе части уравнения (1.20), мы обращаем его в тождество на (a; b). Следовательно, кроме интегральных кривых, описываемых формулами (1.23), имеют-
ся ещё интегральные кривые вида y = y1; a < x < b; где y1 – любое значение удовлетворяющее уравнению (1.24).
First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit
Если уравнение (1.24) имеет ровно k - 1 корней
y1; y2; : : : ; yk-1, то интегральные кривые y = yi разбивают прямоугольник (a; b) (c; d) на k областей
D1; D2; : : : ; Dk.
First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit
Покажем, что соотношение (1.23) является общим интегралом дифференциального уравнения (1.20) в каждой области
Di = f(x; y)ja < x < b; yi-1 < y < yig; i = 1; 2; : : : ; k;
где y0 = c; yk = d.
First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit
Фиксируем i 2 f1; 2; : : : ; kg.
Пусть G : (yi-1; yi) -! R первообразная непрерывной функции g1 : (yi-1; yi) -! R и F : (a; b) -! R первообразная непрерывной функции f на интервале (a; b).
Тогда соотношение (1.23) можно переписать так:
(x; y; C) = G(y) - F(x) - C = 0 |
(1.25) |
для всех (x; y) 2 Di; |
|
причём при каждом фиксированном C 2 R соотношение (1.25) есть уравнение некоторой интегральной кривой в области D.
First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit