DifYr

Глава 1

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПЕРВОГО

ПОРЯДКА

First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit

При изучении физических явлений часто не удается непосредственно найти законы, связывающие величи-

ны, характеризующие физическое явление, но в то же время легко устанавливается зависимость между теми

же величинами и их производными или дифференциалами. При этом мы получаем уравнения, содержащие неизвестные функции под знаком производной.

First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit

1.1.Задачи, приводящие к дифференциальным

уравнениям

Рассмотрим несколько задач, приводящих к дифференциальным уравнениям.

First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit

Задача 1. (задача о радиоактивном распаде). Экспериментальным путем установлено, что скорость радиоактивного распада в каждый момент времени пропорциональна наличному количеству радиоактивного вещества. При этом предполагается, что количество радиоактивного вещества в породе настолько мало, что не вызывает цепной реакции.

Требуется найти закон распада вещества, то есть найти зависимость количества радиоактивного вещества в

породе от времени t.

First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit

Решение. Пусть m – количество радиоактивного вещества в породе в момент времени t. Скорость изменения

количества вещества равна dm. Обозначив через k по-

dt

ложительный коэффициент пропорциональности, который предполагается известным, запишем основной закон радиоактивного распада в виде:

(знак минус указывает на уменьшение массы вещества при возрастании времени t, то есть скорость распада

отрицательная).

First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit

Задача 2. Найти форму зеркала, отражающего параллельно данному направлению все лучи, выходящие из

заданной точки O.

First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit

Решение. Из соображений симметрии следует, что форма поверхности зеркала есть поверхность вращения. Рассмотрим любую плоскость проходящую через точку O параллельно заданному в условиях задачи направлению.

На плоскости введём декартову систему координат xOy следующим образом:

поместим начало координат в точку, где расположен источник света;

направим ось абсцисс параллельно заданному в условиях задачи направлению.

First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit

Поверхность зеркала пересекает плоскость по кривой, уравнение которой y = f(x). Пусть луч падает на зеркало в точке M(x; y). Проведём касательную ML и нормаль MQ к graff в точке M(x; y). Так как угол падения равен углу отражения, то треугольник LMO равнобедренный:

q

OL = OM = x2 + y2;

q

LP = x + x2 + y2; MP = y:

First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit

Учитывая геометрический смысл производной y0, из треугольника LMP получаем дифференциальное уравнение для определения искомой кривой:

First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit

Задача 3. Электродвижущая сила E включается в некоторый момент времени (t = 0) в контур, состоящий из последовательно соединённых катушки самоиндукции L и активного сопротивления R.

Требуется найти ток I в момент времени t, если в начальный момент времени он был равен нулю.

First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit