1.10. Статистика Ферми - Дирака.

Процессы в твердых телах ( электропроводность, теплопроводность, и т.д.) связаны с движением коллективов (ансамблей) тождественных частиц, в частности, электронов. Свойства таких ансамблей описываются законами квантовой статистики. Центральным понятием любой статистики (квантовой или классической) является функция распределения р(Е), определяющая вероятность того, что состояние с энергией Е в условиях теплового равновесия занято частицей. На частицы с полуцелым спином ( т.е. s = 1/2) (их называют ферми-частицами, фермионами, ферми-газом; к ним принадлежат, конечно, электроны) действует принцип запрета Паули, и ансамбли таких частиц описываются статистикой Ферми-Дирака. Функция распределения в статистике Ферми-Дирака имеет вид

. ( 1.21 )

Отметим основные свойства распределения Ферми-Дирака:

1) Вид распределения не зависит от свойства конкретной системы частиц. Применительно к твердым телам можно сказать, что вне зависимости от структуры и состава тела, вида энергетических зон, функция р(Е) неизменна.

2) Различия в свойствах тел проявляются в различиях энергии Е_F, которую называют энергией Ферми. Если для данного твердого тела известна энергия Е_F , то известно, как расположена функция р(Е) на схеме энергетических уровней.

3) Как видно из формулы (1.21), при Е = Е_F вероятность р(Е_F) = 0,5 при любой температуре Т  0. Если в кристалле имеется уровень энергии электрона, совпадающий с уровнем Ферми, то вероятность его заполнения электроном при Т  0 равна 0,5. Заметим, что уровень Ферми в твердых телах может находиться как в разрешенных, так и в запрещенных зонах энергетического спектра.

4) При температуре Т = 0 вероятность р(Е) = 1, если Е  Е_F и р(Е) = 0, если Е  Е_F . Следовательно, уровень Ферми - это наибольшая энергия, которой может обладать электрон при Т = 0, если этот уровень расположен в разрешенной зоне. Функции р(Е) для Т = 0 и Т  0 показаны на рис.1.12.

5) Для энергии Е  Е_F  kT величина (E  E_F)/kT  1, поэтому формула преобразовывается к виду

. ( 1.22)

В этом приближении распределение Ферми-Дирака переходит в распределение Больцмана.

6) Основной параметр распределения Ферми - Дирака - энергию Е_F находят из условия, что полное число электронов, заполняющих уровни энергетических зон, равняется числу электронов в кристалле.

1.11. Электропроводность металлов.

Соответствующий квантовомеханический расчет показывает, что в случае идеальной кристаллической решетки электроны проводимости не испытывали бы при своем движении никакого сопротивления и электропроводность металлов была бы бесконечно большой.

Однако кристаллическая решетка никогда не бывает совершенной. Нарушения строгой периодичности решетки бывают обусловлены наличием примесей или вакансий, а также тепловыми колебаниями решетки. Рассеяние электронов на атомах примеси и на фононах приводит к возникновению электросопротивления металлов. Чем чище металл и ниже температура, тем меньше его сопротивление.

Удельное электрическое сопротивление металлов можно представить в виде

где _колеб - сопротивление, обусловленное тепловыми колебаниями решетки, _прим - сопротивление, обусловленное рассеянием электронов на атомах примеси. Слагаемое _колеб уменьшается с понижением температуры и обращается в нуль при Т = 0 К. Слагаемое _прим при небольшой концентрации примесей не зависит от температуры и образует так называемое остаточное сопротивление металла (кроме металлов переходящих в сверхпроводящее состояние).

Пусть в единице объема металла имеется n свободных электронов. Назовем среднюю скорость этих электронов дрейфовой скоростью V_др. По определению

(1.23)

В отсутствие внешнего поля дрейфовая скорость равна нулю, и электрический ток в металле отсутствует. При наложении на металл внешнего электрического поля Е дрейфовая скорость становится отличной от нуля - в металле возникает электрический ток. Согласно закону Ома дрейфовая скорость является конечной и пропорциональной силе F = - e E.

Кроме силы - e E на электроны проводимости в металле действует сила “трения”, среднее значение которой равно

(1.24)

(r - коэффициент пропорциональности).

Уравнение движения для “среднего” электрона имеет вид

(1.25)

где m^ - эффективная масса электрона. Эффективная масса m^ может сильно отличаться от фактической массы электрона m, в частности она может принимать отрицательные значения. Несмотря на это, именно значение m^ определяет характер движения электрона в решетке.

Таким образом, воздействие решетки на движение можно учесть, заменив в уравнении движения истинную массу m эффективной массой m^. Уранение (1.25) позволяет найти установившееся значение V_др. Если после установления стационарного состояния выключить внешнее поле Е, дрейфовая скорость начнет убывать и по достижении состояния равновесия между электронами и решеткой обращается в ноль. Найдем закон убывания дрейфовой скорости после выключения внешнего поля. Положив Е = 0 , получим уравнение

Его решение имеет вид

(1.26 )

где - значение дрейфовой скорости в момент выключения поля. Из (1.26) следует, что за время

(1.27)

значение дрейфовой скорости упадет в e раз.  - время релаксации, характеризующее процесс установления равновесия между электронами и решеткой, нарушенное действием внешнего поля Е. Тогда из (1.24) получаем

(1.28)

Установившееся значение дрейфовой скорости можно найти, приравняв нулю сумму силы  eE и силы трения

Отсюда

Установившееся значение плотности тока получаем, умножив это значение V_др на заряд электрона  e и на плотность электронов n

(1.29)

Коэффициент пропорциональности между Е и j представляет собой удельную электропроводность . Таким образом,

В классической теории электропроводности выражение для проводимости имеет вид

(1.30)

где ^ - среднее время свободного пробега электронов.

Из сравнения формул (1.29) и (1.30) вытекает, что время релаксации совпадает по порядку величины с временем свободного пробега электронов в металле.

Отметим, что выкладки, приведшие к формуле (1.29), одинаково пригодны как при классической трактовке движения электронов проводимости в металле, так и при квантовомеханической трактовке. Различие этих двух трактовок заключается в следующем. При классическом рассмотрении предполагается, что все электроны возмущаются внешним электрическим полем, в соответствии с чем каждое слагаемое в (1.23) получает добавку в направлении, противоположном Е. При квантовомеханическом подходе приходиться принимать во внимание, что возмущаются полем и изменяют свою скорость лишь электроны, занимающие состояния вблизи уровня Ферми. Электроны, находящиеся на более глубоких уровнях, полем не возмущаются, и их вклад в сумму (1.23) не изменяется. Кроме того, при классической трактовке используется обычная масса m, при квантовомеханической трактовке вместо обычной массы должна быть взята эффективная масса электрона m^.

Лекция 6.