1.5. Теория свободных электронов в металле.

Рассмотрим образец металла, который для простоты будем считать имеющим форму куба со стороной L. Допустим, что электроны проводимости движутся в пределах образца совершенно свободно, т.е. U = 0. Тогда уравнение Шредингера для свободного электрона в металле

(1.16)

Решение этого уравнения имеет вид

, где - волновой вектор электрона, связанный с энергией соотношением

( 1.17)

Условие нормировки пси-функции запишется в виде

Полагая С вещественным, получим , и тогда

( 1.18)

Волновая функция должна удовлетворять граничным условиям, которые заключаются в том, что она должна быть периодической по х, у, z с периодом L, тогда

где n_{x ,} n_у , n_z - целые числа, принимающие независимо друг от друга значения 0,  1,  2 ....

Следовательно, волновая функция квантуется

(1.19)

Из (1.19) следует, что и энергия свободного электрона в металле квантуется

( 1.20)

Таким образом, состояние электрона задается четырьмя квантовыми числами

n_{x ,} n_у , n_z и s =  1/2.

Энергия электрона определяется суммой квадратов квантовых чисел n_{x ,} n_у , n_z. Одной и той же сумме квадратов квантовых чисел соответствует несколько различных комбинаций чисел n_{x ,} n_у , n_z . Следовательно, уровни энергии являются вырожденными . Уровень Е₀ (n_x =0_, n_у = 0, n_z = 0) имеет кратность вырождения, равную двум s =  12, Е₁ - двенадцать, Е₂ - двадцать четыре и т.д. Таким образом, с ростом энергии увеличивается число состояний, отвечающих данному значению Е. Теперь предположим, что в нашем воображаемом кубе при Т = 0 содержится n свободных электронов. Согласно принципу Паули, в каждом из состояний может находиться не более двух электронов. Все n электронов стремятся заполнить низшие энергетические состояния, образуя так называемый ферьми - газ. Такой газ обладает интересными свойствами, необычными с точки зрения классической физики, на которые впервые обратил внимание Энрико Ферми. Данные n электронов заполнят все энергетические уровни от низшего до состояния с энергией Е_F. Поэтому все состояния с энергией Е  Е_F будут заполнены, а с Е  Е_F - свободны. Энергия Е_F называется энергией Ферми или уровнем Ферми при абсолютном нуле.

Введем воображаемое k -пространство ( или, что то же самое, р - пространство; ), по осям которого будем откладывать значения квантовых чисел n_{x ,} n_у , n_z . В этом пространстве каждой паре состояний (отличающихся значениями s) соответствует точка. Поверхность равных значений энергии имеет форму сферы радиуса, равного . Изоэнергетическая поверхность в этом пространстве, соответствующая энергии Е_F, носит название поверхности Ферми. В случае свободных электронов эта поверхность описывается уравнением

и имеет форму сферы радиуса . Верхний квадрант этой сферы показан на рис.1.7.

Величина Е_F играет существенную роль в статистике Ферми-Дирака.

Лекция 4.