80

4 семестр

Лекции.

Лекция 1.

1.Физика твёрдого тела

1.1.Структура твёрдых тел. Кристаллическое состояние.

С точки зрения структуры вещества в твёрдом состоянии разделяются на аморфные и кристаллические. Аморфные твердые тела, так же как и жидкости, построены по принципу ближнего порядка: упорядоченное расположение атомов и молекул соблюдается только в отношении ближайших соседей. В кристаллах имеет место дальний порядок: атомы располагаются строго упорядоченно в пределах значительных макроскопических объёмов.

Механизм образования кристаллического состояния таков. При понижении температуры уменьшается скорость теплового движения частиц. В конце концов, кинетической энергии не хватает, чтобы преодолеть действия сил притяжения между частицами. Частицы переходят в режим тепловых колебаний около определенных положений равновесия, отвечающих минимуму потенциальной энергии взаимодействия частиц друг с другом. Эти положения образуют упорядоченную и повторяющуюся в пространстве систему точек, т.е. кристаллическую решетку.

Твердые тела часто состоят из большого количества сросшихся между собой мелких кристаллов. Такие тела называют поликристаллическими. Дальний порядок здесь имеется в пределах каждого мелкого кристалла, но ввиду их беспорядочных взаимных ориентаций дальний порядок для тела в целом не существует. Можно изготовить твердое тело и как однородный кристалл – монокристалл, где дальний порядок распространяется на все тело.

Характерна черта кристаллического состояния, отличающая его от жидкого и газообразного состояний, заключается в наличии анизотропии, т.е. зависимости ряда физических свойств от направления.

Упорядоченность расположения атомов кристалла заключается в том, что атомы (или молекулы) размещаются в узлах геометрически правильной пространственной решетки. Весь кристалл может быть получен путем многократного повторения в трех различных направлениях одного и того же структурного элемента, называемого элементарной кристаллической ячейкой (рис.1.1.).

Рис. 1.1.

Длины ребер a, b и c кристаллической ячейки называются периодами идентичности решётки. Элементарная ячейка построена на трех векторах и , модули которых равны периодам идентичности и называются векторами основной трансляции. Кроме этих векторов элементарная ячейка характеризуется углами ,,.

Классификация кристаллов. Кристаллическая решётка может обладать различными видами симметрии. Под симметрией кристаллической решётки понимается свойство решётки совпадать с самой собой при некоторых пространственных перемещениях. Прежде всего, всякая решётка обладает трансляционной симметрией, т. е. совпадает сама с собой при перемещении (трансляции) на величину периода идентичности. Из других видов симметрии отмети симметрию по отношению к поворотам вокруг некоторых осей, а также к зеркальному отражению относительно определенных плоскостей. Если решётка совпадает сама с собой при повороте вокруг некоторой оси на угол /n (следовательно, за один оборот вокруг оси решётка совпадает сама с собой n раз), то ось называется осью n – го порядка. Оси симметрии бывают 1,2,3,4,6 порядка, 5 и 7 порядка не бывает.

Всего существует четырнадцать пространственных решёток (решёток Браве), из которых могут быть построены кристаллические решетки всех известных веществ. В некоторых случаях решётку не удается построить трансляцией одного узла, тогда её можно представить в виде нескольких составляющих решёток Браве, вставленных одна в другую. Например, структура алмаза представляет собой две кубические гранецентрированные решетки, смещённые вдоль пространственной диагонали куба на одну четверть её длины.

Четырнадцать решёток Браве обычно подразделяют на семь кристаллографических систем (или сингоний), в соответствии с семью различными типами элементарных ячеек:

1.Триклинная система: a  b  c,   .

2. Моноклинная система: a  b  c,  = =90⁰ , 90⁰.

3. Ромбическая система: a  b  c,  = == 90⁰.

4. Тетрагональная система: a = b  c,  = == 90⁰.

5. Тригональная система: a = b = c,  = = 90⁰.

6. Гексагональная система: a = b  c,  = = 90⁰, = 120⁰.

7. Кубическая система: a = b = c,  = == 90⁰.

Для аналитического описания геометрических элементов кристалла, т.е. точек, прямых (направлений) и плоскостей, применяется особая символика. Возьмём точку с координатами x,y,z (в общем случае эти координаты косоугольные, а не декартовы). В качестве индексов точки принимается совокупность величин x/a,y/b,z/c, которые заключаются в двойные квадратные скобки [[x/a,y/b,z/c]]. Например, начало координат [[0 0 0]], центр кристаллической решётки [[ ½ ½ ½ ]] , центру грани соответствуют индексы [[ 0 ½ ½ ]].

Направление в кристалле можно задать с помощью прямой, проходящей через начало координат. Направление такой прямой определяется наименьшим целыми числами m,n,p, пропорциональными индексам любой точки, через которую проходит прямая m/n/p = (x/a)/(y/b)/(z/c).Числа m,n,p называются индексами направления и заключаются в одинарные скобки [m,n,z]. Таким образом, направление прямой, проходящей через начало координат и через точку [[ 1/3 ½ 1 ]], обозначается символом [ 2 3 6 ]. Если какое ни будь из чисел m,n,p оказывается отрицательным, знак минус ставится не перед, а над соответствующим числом. Например, направление, противоположное оси y, обозначается символом [ 0 0 ].

Положение и ориентация плоскости кристалла определяется заданием координат трех атомов, лежащих в этой плоскости.

Обычно для описания плоскости пользуются индексами Миллера. Они определяются следующим образом. 1) Находят точки, в которых данная плоскость пересекает основные координатные оси, и записывают их координаты в единицах постоянной решётки (рис. 1.2.). 2) Берут обратные значения полученных чисел и приводят их к наименьшему целому, кратному каждому из чисел. Результат заключают в круглые скобки.

Н апример, плоскость, показанная на рис. 1.3, имеет символ (2 3 3). Для плоскости, которая пересекает оси в точках с координатами 4, 1, 2, обратные числа будут 1/4, 1/1, 1/2. Тогда индексы Миллера для этой плоскости (1 4 2) . Индексы Миллера некоторых наиболее важных плоскостей кубического кристалла приведены на рис 1.4

Рис. 1.3.

Рис. 1.4.

По характеру сил взаимодействия и типу частиц, расположенных в узлах кристаллической решётки, различают ионные, ковалентные (атомные), металлические и молекулярные кристаллы.

Ионные кристаллы (NaCl, LiF, оксиды металлов и т.д.) характеризуются сильной электростатической связью между правильно чередующимися в узлах решётки положительными и отрицательными ионами; сильная связь определяет высокие температуры плавления таких кристаллов.

Ковалентные (атомные) кристаллы (Ge, Si, C и др.) имеют в узлах решётки нейтральные атомы, взаимодействующие за счёт валентных электронов. Ковалентная (парно-электронная) связь обусловлена квантовомеханическим взаимодействием электронов. Для этой связи характерна строгая направленность на тот соседний атом, с которым у данного атома образуется совместная пара электронов. При этом число таких связей равно числу валентных электронов данного атома. Ковалентные кристаллы отличаются высокими температурами плавления.

Следует отметить, что в большинстве кристаллов связь между атомами является частично ионной, а частично – ковалентной. Примером кристаллов, у которых оба типа связи присутствуют в сопоставимой степени, служат антимонид индия InSb, арсенид галлия GaAs/

Металлические кристаллы содержат в узлах только положительные ионы, а валентные электроны, покидая свои атомы, образуют «электронный газ», равномерно распределенный по кристаллической решётке. Свободные электроны «стягивают» (в основном электростатическими силами) положительные ионы. Металлические кристаллы отличаются высокой электропроводностью и теплопроводностью.

Молекулярные кристаллы (Ar, CH, парафин и др.) содержат в узлах решетки нейтральные молекулы с насыщенными связями между атомами. Под влиянием колебаний электронов в одной молекуле (атоме) возбуждаются колебания в соседней молекуле (атоме); эти согласованные колебания вызывают слабое притяжение двух молекул (атомов). Силы притяжения называют силами Ван-дер-Ваальса. Молекулярные кристаллы отличаются низкой температурой плавления.

Бесконечная периодическая кристаллическая решётка представляет собой идеальную структуру. В реальных кристаллах неизбежны отклонения от идеальной структуры, которые принято называть дефектами.

Дефекты химического состава кристалла обусловлены наличием лишних атомов элемента, входящего в химическую формулу вещества кристалла либо же наличием посторонних атомов, не входящих в химическую формулу вещества (примесь).

Дефекты химического состава присутствуют в той или иной степени во всех материалах. В одних случаях они практически не сказываются на свойствах материала, а в других – даже незначительное изменение концентрации примеси существенно влияет на свойства материала. Так, изменение концентрации мышьяка в германии всего на 1% изменяет удельное сопротивление германия на несколько порядков.

Простейшими дефектами нарушения порядка являются атом в междоузлии и вакантный узел; это так называемые точечные дефекты. Смещение атома из узла в междоузлие (дефекты по Френкелю) часто встречается в кристаллах таких соединений, атомы или ионы которых значительно отличаются по своим размерам. Вакансии – отсутствие атома в узле кристаллической решётки (дефекты по Шотки) – представляют собой более распространенный тип структурных нарушений.

Линейные дефекты или дислокации представляют собой нарушения в правильном чередовании атомных плоскостей (идеальный кристалл).

Дефекты возникают и в процессе роста кристалла, и при любом физическом воздействии на кристалл – тепловом, радиационном, механическом, электрическом и т.п. При отсутствии дефектов были бы невозможны такие явления, как пластическая диффузия и пластическая деформация.

Лекция 2.

1.2. Колебания кристаллической решётки. Фононы.

Теплоемкость кристаллической решетки.

Тепловое движение в кристаллах – это, в основном, колебания частиц (атомов или ионов) относительно их положений в узлах решётки. Вследствие большой энергии связи между частицами в кристалле, количество частиц, которые за счёт тепловой энергии срываются с положения равновесия и совершают беспорядочное тепловое блуждание по кристаллу, сравнительно мало.

Согласно простейшим представлениям, кристалл, состоящий из N одинаковых атомов, есть система с 3N степенями свободы. Колебания каждой частицы представляются как сумма независимых колебаний вдоль трёх взаимно перпендикулярных направлений. Поскольку энергоемкость каждой степени свободы составляет kT (1/2kT в виде кинетической и 1/2kT в виде потенциальной энергии), на каждый колеблющийся атом приходится средняя энергия 3kT. Умножив это значение на число Авагадро N_A, получим внутреннюю энергию одного моля вещества

(1.1)

Дифференцируя это выражение по температуре, найдём молярную теплоёмкость кристалла

(1.2)

При нагревании объём твёрдых тел меняется очень мало, поэтому теплоёмкость при постоянном объёме С_V практически совпадает с другими теплоёмкостями кристалла. Формула (1.2) отражает сущность известного закона Дюлонга и Пти (1819 г.): теплоёмкость любого одноатомного кристалла одинакова и не зависит от температуры. Этот закон хорошо выполняется при комнатных и более высоких температурах. Температура, выше которой справедлив закон Дюлонга и Пти, называется температурой Дебая (Q). Величины Q для одноатомных кристаллов лежат в диапазоне 95-1800 К. Наивысшая температура Q у алмаза. При уменьшении сил межатомных связей в кристаллах уменьшается и Q. Температура Q= 95К характерна для легкоплавкого и мягкого свинца.

Как показывает опыт, в области температур ниже Дебаевской теплоёмкость кристаллов при охлаждении падает и стремится к нулю при Т = 0.

Фононы. В действительности энергии колебательных движений атомов в кристаллах квантуются. Если - некоторая возможная частота колебания атома в кристалле, то минимально возможная порция колебательной энергии в твёрдых телах равна , где - постоянная Планка. Кванты колебательной энергии в твёрдых телах называются фононами.

Многие процессы в кристалле (например, рассеяние рентгеновских лучей или нейтронов) протекает так, как если бы фонон обладал импульсом

,

где - волновой вектор соответствующего нормального колебания.

Фонон во многих отношениях ведёт себя так, как если бы он был частицей с энергией и импульсом . Однако в отличие от обычных частиц (электронов, протонов, фотонов и т.д.) фотон не может возникнуть в вакууме – для своего возникновения и существования фонон нуждается в некоторой среде. Подобного рода частицы называются квазичастицами.

Импульс фонона обладает своеобразными свойствами. При взаимодействии фононов друг с другом их импульс может дискретными порциями передаваться кристаллической решётке и, следовательно, не сохраняется. В связи, с чем величину в случае фононов называют не импульсом, а квазиимпульсом.

Кроме того, колебания атомов в решетке нельзя считать независимыми друг от друга. Вследствие межатомных связей колебания какого-либо атома в кристалле неизбежно вовлекают в колебательный процесс и соседние атомы. Следовательно, колебание атома, возникшее в каком-либо месте кристалла, передается от атома к атому, распространяясь по кристаллу в виде упругих волн различной частоты . Дойдя до границы кристалла, волна отражается, при наложении прямой и отражённой волн образуется стоячая волна. Стоячие волны могут возникать лишь для частот (или длин волн), удовлетворяющих определенным условиям. Если взять кристаллическое тело в виде параллепипеда со сторонами a, b и с, то эти условия выражаются формулами

где - волновой вектор.

Число возможных частот, которые называют частотами нормальных колебаний , в кристалле очень велико, но не бесконечно. Если кристалл состоит из N₀ элементарных ячеек с числом атомов в каждой ячейке , то общее число атомов в кристалле будет равно N = N₀ . Такой кристалл имеет 3N степеней свободы, и число возможных собственных частот колебаний не может превышать 3N. Возможные значения частот в кристаллах лежат в диапазоне от звуковых (20-20000 Гц) до инфракрасных (~10¹³Гц). Спектр частот сложным образом зависит от структуры кристалла и силы межатомных связей. Так, для кристаллов с сильными межатомными связями характерны и большие частоты нормальных колебаний, соответственно, с большими энергиями.

Здесь просматривается определенная аналогия со свойствами гармонического осциллятора: собственная частота осциллятора растет с увеличением жёсткости связи между колеблющимися телами.

Максимально возможная собственная частота колебаний в кристалле связана с температурой Дебая соотношением

(1.3)

Полная энергия колебательного теплового движения атомов в кристалле, т.е. его внутренняя энергия, является суммой энергий нормальных колебаний и, согласно квантовомеханическим представлениям (энергия гармонического осциллятора может принимать значения ), равна

(1.4)

Здесь величина n_i = 0,1,3…. – число фононов с частотой , возбуждаемых в кристалле при данной температуре.

Согласно классическому представлению (1.1), при температуре Т= 0 энергия тепловых колебаний кристалла равна нулю. В нашем случае при температуре Т=0 эта энергия составляет

(1.5)

Таким образом, по мере охлаждения кристалла до Т 0 колебания атомов кристалла ослабевают, но полностью не исчезают. При Т=0 остаются так называемые нулевые колебания решетки, энергия которых определяется формулой (1.5).

Фононы, как и кванты электромагнитного поля – фотоны , подчиняются статистике Бозе-Эйнштейна.

Напомним, что частицы с целым или нулевым спином могут находиться в пределах данной системы в одинаковых состояниях в неограниченном количестве. Такие частицы подчиняются статистике Бозе-Эйнщтейна, и поэтому называются бозонами. Можно сказать, что бозоны являются «коллективистами», они «любят» накапливаться в одном и том же состоянии, Для бозонов характерно то, что вероятность возникновения бозонов в состоянии, в котором уже имеется n частиц, пропорциональна n. Частицы с полуцелым спином могут находится в квантовых состояниях только по одиночке (запрет Паули). Такие частицы подчиняются статистике, разработанной Ферми и Дираком, и называются фермионами.

В этой статистике не действует запрет Паули, следовательно, в одинаковом состоянии может находиться любое число фононов, По статистике Бозе-Эйнштейна среднее число фононов с энергией , возбуждаемых в кристалле при температуре Т, определяется функцией

. (1.6)

Из (1.6) следует, что с увеличением температуры увеличивается и число возбуждаемых фононов, Если kT ,  1, т.е. число фононов с энергией велико. Средняя энергия коллектива фононов частоты равна

(1.7)

Умножив(1.7) на 3N Эйнштейн получил для внутренней энергии кристалла формулу

(1.8)

Продифференцировав, это выражение по температуре найдем теплоёмкость кристалла

(1.9)

Если температура велика kT , то можно представить следовательно

Для теплоёмкости получаем

Таким образом, при высоких температурах средняя энергия коллектива фононов, дающих вклад в каждое нормальное колебание частотой , равна энергии, которая в не квантовой модели тепловых колебаний кристалла приходилась на одну степень свободы колеблющегося атома. Поэтому неудивительно, что для высоких температур теплоёмкость кристаллов вычисленных по классической модели, хорошо согласуется с опытными данными.

Расчёты теплоёмкости кристаллов с учетом статистики фононов и особенностей спектра нормальных колебаний были выполнены Дебаем. При низких температурах теплоёмкость кристаллов Т³.

Итак, любой кристалл, атомы которого совершают тепловые колебания, представляет систему, носителями колебательной энергии которой являются фононы различных частот. С увеличением температуры растёт число возбуждаемых в кристалле фононов и увеличивается доля фононов больших энергий, Взаимодействие ансамбля фононов с подвижными зарядами, носителями тока, играет большую роль в явлениях электропроводности твердых тел.