lekcii toe

2

Глава 1. Введение

§1. Предмет и аксиоматика ТЭЦ

Предмет ТЭЦ (теории электрических цепей) — изучение наиболее общих закономерностей, описывающих процессы, протекающие во всех электротехнических (ЭТ) устройствах. ТЭЦ основана на двух постулатах:

1.Исходное предположение ТЭЦ. Все процессы в любых ЭТ устройствах можно описать с помощью двух понятий: тока и напряжения.

2.Исходное допущение ТЭЦ. Ток в любой точке сечения любого проводника один и тот же, а напряжение между любыми двумя точками пространства изменяется по линейному закону.

Определения. Ток — предел отношения количества электричества, переносимого заряженными частицами через некоторую поверхность за некоторый промежуток времени, к этому промежутку времени, когда он стремится к нулю:

Считая, что заряд и время непрерывны, можно перейти от предела к производной:

i = dq(t ) . dt

Размерность тока [i] = Кл·с−1 = А.

Напряжение — предел отношения количества энергии, необходимой для переноса некоторого количества электричества из одной точки пространства в другую, к этому количеству электричества, когда оно стремится к нулю:

(Последнее равенство написано в предположении, что энергия и заряд — величины

непрерывные).

Размерность напряжения [u] = Дж·Кл−1 = В.

Из основных понятий как следствие вытекают определения: Энергия — мера способности объекта совершать работу:

∞

W = ∫u(t )i(t )dt,

−∞

размерность [W] = Дж = В·А·с.

Мощность — скорость изменения энергии во времени:

P = dW = u(t )i(t ), dt

размерность [P] = Дж·с−1 = В·А = Вт.

Теперь введем элементы электрической цепи. Формальное определение:

Элементы — идеализированные устройства с двумя или более зажимами, все электромагнитные процессы в которых с достаточной для практики точностью могут быть описаны только в основных понятиях (тока i и напряжения u).

Элементы бывают: линейные и нелинейные, пассивные и активные, стационарные и нестационарные, непрерывные и дискретные, с сосредоточенными и распределенными

3

параметрами. Из дальнейшего рассмотрения икслючим нестационарные элементы и элементы с распределенными параметрами.

Источники электромагнитной (ЭМ) энергии — идеализированные устройства,

имеющие два или более зажимов и предназначенные для генерации или преобразования ЭМ энергии. Источники бывают: независимые, зависимые и управляемые.

Электрическая цепь — совокупность элементов и источников, предназначенных для генерации, приема и преобразования токов и напряжений (электрических сигналов). Те участки цепи, куда поступают или для которых генерируются сигналы, называют входами; те участки, на которых регистрируют токи или напряжения в результате их генерации или преобразования, — выходами.

Из введенных определений следует, что необходимо построить модели элементов, источников и цепей.

§2. Пассивные элементы. Взаимное влияние магнитных полей

Начнем построение модели с наиболее простых элементов: линейных и нелинейных, пассивных, стационарных, с сосредоточенными параметрами.

Из основных понятий следует, что для полного описания электромагнитных процессов нам необходимы элементы:

1.только потребляющие ЭМ энергию и безвозмездно ее расходующие,

2.запасающие и полностью возвращающие энергию только электрического поля,

3.запасающие и полностью возвращающие энергию только магнитного поля.

Резистор

Резистор — идеализированное устройство, имеющее два зажима, единственным ЭМ процессом в котором является безвозвратное потребление ЭМ энергии и полный перевод ее в тепловую. Все свойства резистора описывает либо его вольт-амперная i = f (u) , либо ампер-вольтовая u = f (i) характеристика. В современной ЭТ можно получить любую ВАХ (АВХ) резистора, в том числе и такие:

u(t )

1

2

i(t )

Если ВАХ (АВХ) резистора представляет собой прямую линию, резистор называют

линейным; в противном случае — нелинейным.

Для линейного резистора (см. рис. слева)

4

Обозначение резистора

линейный

нелинейный

В случае описания линейного резистора функцией i = i(u) получим i = Gu , где коэффициент G называется проводимостью резистора.

Размерность [G] = А·В−1 = См (Сименс).

Из определения энергии

W = ∫u(t )i(t )dt = R ∫i2 (t )dt = G ∫u 2 (t )dt ≥ 0,

следовательно, резистор только потребляет ЭМ энергию. Его мощность

P = u(t )i(t ) = Ri2 (t ) = Gu 2 (t ) ≥ 0,

значит, вся ЭМ энергия поступает в резистор и полностью превращается в тепловую.

Емкость

Емкость — идеализированное устройство, имеющее два зажима, единственным ЭМ процессом в котором является запасание и полный возврат электрической энергии. Отсюда следует, что емкость описывается вольт-кулоновой характеристикой q = q(u ), которая может быть любой, например, такой:

Если мы рассматриваем линейную емкость (на рисунке — характеристика 2), то

i(t ) = tg α du(t ) = C du(t ) , dt dt

где коэффициент C называют емкостью. Размерность [C] = А·В−1·с−1 = Ф. Можно также записать соотношение для линейной емкости в интегральной форме

Положив, что вначале емкость не была заряжена: u(− ∞) = 0 , получим

W (t ) = Cu 2 (∞) > 0, 2

т.е., емкость производит запасание электрической энергии. Мощность равна

P = Cu(t ) du(t ) , dt

5

и может быть как положительной, так и отрицательной. Т.е., емкость запасает электрическую энергию и полностью ее отдает.

Обозначение емкости

линейная

нелинейная

Индуктивность

Индуктивность — идеализированное устройство, имеющее два зажима, единственным ЭМ процессом в котором является запасание и полный возврат энергии магнитного поля. Отсюда следует, что для описания индуктивности используется ее ампер-веберная характеристика Ψ = Ψ(i) . Как и в предыдущих случаях, характеристика может быть сделана практически любой; нелинейные характеристики аппроксимируют полиномом. Два примера характеристики приведены на рисунке:

и может быть как положительной, так и отрицательной. Таким образом, индуктивность запасает магнитную энергию и полностью ее отдает.

Обозначение индуктивности

линейная

нелинейная

6

Общее замечание по элементам

Введенные элементы (резистор, емкость, индуктивность) — идеализированные устройства, и поэтому они не идентичны реальным элементам (сопротивлению, конденсатору, катушке). Через них можно пропускать любой ток, прикладывать любое напряжение, и они не сломаются. Количество энергии, запасаемой емкостью и индуктивностью, может быть любым. Таким образом, введенные нами элементы — лишь модели, позволяющие, тем не менее, описывать реальные объекты с достаточной точностью.

Взаимное влияние магнитных полей

Если разместить несколько индуктивностей рядом друг с другом, то они, в отличие от емкостей, будут взаимодействовать весьма значительно.

i1 (t ) i2 (t ) Представим себе две индуктивности. Зависимость их потоков от i:

После линеаризации (аппроксимации прямой линией на данном интервале) получим

L1 = tg α1 , L2 = tg α2 .

Если часть потокосцеплений взаимодействует друг с другом, то

Ψ12 = Ψ12 (i2 ), Ψ21 = Ψ21 (i1 ).

Зависимости этих потоков от i также выражаются графиками

Обозначим M 1 = tg α3 , M 2 = tg α4 .

Очевидно, что напряжения u1 и u2 будут зависеть не только от токов i1 и i2, но и от токов i2 и i1 за счет взаимодействия потоков Ψ12 и Ψ21. Придется описывать напряжения в

включению второй индуктивности в цепь с первой. Если при этом напряжение повышается, — берут знак «+», иначе — знак «−».

взаимоиндукцией (взаимной индуктивностью), а L — самоиндукцией.

Таким образом, если в цепи имеется более одной индуктивности, следует выяснить их взаимное влияние и учесть его.

Для характеристики взаимной индуктивности вводят коэффициент связи

Kс = Ψ11Ψ22 .

Ψ21Ψ12

7

В линейном случае

Часто оперируют обратным коэффициентом

§3. Независимые, зависимые и управляемые источники ЭМ энергии

Так как основных понятий в ТЭЦ два (ток и напряжения), то типов источников тоже два — источники тока и источники напряжения.

Независимые источники

Независимый источник напряжения

Независимый источник напряжения (НИН) — идеализированное устройство,

имеющее два зажима и отличающееся тем, что напряжение на этих зажимах не зависит от величины и формы тока, протекающего от одного зажима к другому.

Обозначение

i(t )

+ u(t )

Следствия из определения:

1.Все свойства НИН описывает его ампер-вольтовая характеристика. Это прямая, параллельная оси абсцисс и отсекающая на оси ординат напряжение:

2.Напряжение на зажимах источника изменяется по своему закону и не зависит от силы тока:

i1(t)

i2(t)

8

Независимый источник тока

Независимый источник тока (НИТ) — идеализированное устройство, имеющее два зажима и отличающееся тем, что ток, протекающий от одного зажима к другому, не зависит от величины и формы напряжения на этих зажимах.

Обозначение

+

u(t) i(t)

Cледствия из определения:

1.Все свойства источника тока описываются его вольт-амперной характеристикой. Это прямая, параллельная оси абсцисс и отсекающая на оси ординат ток:

2.Ток, протекающий от одного зажима к другому, не зависит от напряжения между ними:

u1(t)

u2(t)

3.Мощность источника тока не ограничена. Его вольт-ваттная характеристика подобна ампер-ваттной характеристике источника напряжения:

p(u)

α

u

p = ui = u tg α

Источник тока невозможно разрушить так же, как все введенные нами идеализированные элементы. Он может быть источником любого тока, и на нем можно создать любое напряжение.

10