lekcii toe

4.Параллельно можно соединить любое число источников тока с любыми направлениями тока:

5. Определению НИТ противоречат следующие конфигурации:

6.Удаление НИТ означает, что мы полагаем i = 0, т.е. обрываем зажимы:

i = 0

Взаключение укажем, что соединение источников тока и напряжения может быть

любым.

Зависимые источники

По определению зависимые источники — идеальные устройства, имеющие два зажима и отличающиеся тем, что напряжение (ток) на этих зажимах зависит от величины и формы тока (напряжения). Часто зависимые источники выступают как замена пассивных элементов:

Заметим также, что, в отличие от независимых источников зависимые можно соединять произвольным образом. Но, как всякие идеальные устройства, зависимые источники неразрушимы.

Управляемые источники (усилители)

Управляемые источники — идеализированные устройства, имеющие пару входных и пару выходных зажимов; содержащие зависимый источник тока (напряжения) на выходе, причем напряжение или ток на выходе зависят от напряжения на входе; отличающиеся тем, что мощность на входе равна нулю, а выходная мощность может быть отлична от нуля.

11

1. Источник напряжения управляемый напряжением (ИНУН)

Управляемые источники используются в активных цепях, управляющих обработкой сигналов.

§4. Моделирование реальных ЭТ устройств с помощью идеализированных элементов и источников. Линеаризация нелинейных характеристик. Активные элементы цепей

Моделирование

С помощью введенных нами идеализированных элементов и источников можно с любой наперед заданной точностью поведение любых ЭТ устройств, для которых выполняются основные определения и допущения, изложенные в §1.

12

Точно так же, при моделировании реального конденсатора (имеющего ток утечки) можно использовать дополнительный резистор, а реальной катушки (накапливающей не только магнитную, но и электрическую энергию) — дополнительную емкость.

Вывод: любое ЭТ устройство можно описать с помощью конечного числа введенных идеализированных элементов и источников с любой заданной точностью, если соблюдаются сформулированные в §1 ограничения, а именно: все процессы в этом ЭТ устройстве можно описать с помощью только двух понятий: тока и напряжения.

Линеаризация

Линеаризация — аппроксимация нелинейных характеристик цепи линейными в некоторой δ-окрестности исследуемого состояния системы (рабочей точки).

1.Строго говоря, анализ цепи можно производить и без линеаризации.

2.Если элемент описывается гладко изменяющимися функциями, линеаризация позволяет выявить коренные характеристики элемента.

Активные элементы

Активный элемент (АЭ) — идеализированное устройство, имеющее две или более пары зажимов, часть из которых — входные, а часть — выходные; отличающееся тем, что при изменении сигнала малой или нулевой мощности на входе, можно управлять изменением сигнала большой мощности на выходе.

Из определения следует, что АЭ всегда содержит управляемый источник.

Примеры

получены при линеаризации АСХ). Тогда можно построить модель, удовлетворительно описывающую работу триода в окрестности РТ, где мы линеаризовали АСХ:

13

ИТУН

Из описания примера ясно, что

p2 = u2 i2 = u2 (Su1 + Gвнu2 ) ≥ 0

Таким образом, имея нулевую мощность сигнала на входе и ненулевой входной сигнал u1 мы можем управлять u2 и i2.

Согласно этой модели,

p2 = u2 i2 = (αRкi1 + Rкi2 )i2 ≥ 0

§5. Элементы структуры цепи. Постулаты Кирхгофа. Некоторые сведения из топологии. Формирование системы линейно независимых уравнений Кирхгофа

ЭСЦ и постулаты Кирхгофа

Начнем с примера: сравним две цепи

14

Очевидно, что эти уравнения не являются независимыми (5 уравнений относительно 3 неизвестных величин). Система линейных уравнений может быть приведена к виду линейно независимой несколькими способами.

Некоторые сведения из топологии. Формирование системы линейно независимых уравнений Кирхгофа

Пусть дана произвольная цепь с n узлами и m ветвями. Поиску подлежат m неизвестных (токов или напряжений). В их число всегда входят токи через источники напряжения, напряжения на источниках токов и токи или напряжения в остальных ветвях. Используя постулат Кирхгофа для узлов, можно всегда сформировать (n−1) линейно независимое уравнение. Необходимо определить m величин, а, следовательно, уравнений по постулату для узлов достаточно сформировать (m−n+1) независимых уравнений.

Итак, задача вобщей постановке заключается в создании способа выделения из всевозможных уравнений Кирхгофа для контуров (m−n+1) линейно независимых. Решить эту задачу удается, применив методы топологии.

Топология — раздел математики, изучающий неметрические свойства геометрических фигур. Например, с т.з. топологии следующие фигуры эквивалентны:

В топологии приняты следующие определения. Узел (вершина) — точка в пространстве. Ветвь (ребро) — линия, соединяющая два узла.

Граф — произвольная совокупность узлов и ветвей.

Плоский граф — можно изобразить на плоскости так, что ветви пересекаются только в узлах.

Изоморфный граф — граф, полученный из другого простым изменением положения ветвей и узлов.

Планарный граф — граф, изоморфный плоскому.

Топологический (ненаправленный, неориентированный) граф — граф, в котором направление движения вдоль ветвей от узла к узлу не указано.

Сигнальный (направленный, ориентированный) граф — граф, в котором от узла к узлу вдоль ветвей можно двигаться только в указанном направлении:

Путь — однонаправленная последовательность узлов и ветвей, двигаясь вдоль которой каждую ветвь и каждый узел проходим только один раз.

Контур — замкнутый путь. В любом топологическом графе такой путь существует. Связный топологический граф — такой граф, в котором, двигаясь из любого узла

вдоль ветвей, можно попасть в любой другой узел.

В несвязном топологическом графе, двигаясь из любого узла вдоль ветвей, в некоторые узлы попасть нельзя.

Подграф — граф, содержащий не все узлы или ветви исходного графа:

16

Сечение — набор ветвей, которые надо удалить, чтобы граф распался на два несвязных.

Дерево — минимальный связный подграф данного графа:

Ветви связи — ветви, которые надо удалить, чтобы из данного графа выделить дерево.

Для того, чтобы образовать минимальное дерево, необходимы два узла и ветвь, далее для присоединения еще одного узла — еще ветвь и т.д. Тогда, если произвольный граф имеет n узлов и m ветвей, тогда любое его дерево содержит (n−1) ветвь, а граф — (m−n+1) ветвей связи. Так как дерево есть минимальный связный подграф данного графа, то добавление к любому дереву любой ветви связи обязательно влечет за собой образование контура. Этот контур будет линейно независимым, поскольку он содержит ветвь связи, вновь присоединенную, и ранее не рассмотренную. Следовательно, последовательное добавление ветвей связи дает возможность образовать (m−n+1) независимых контуров. Необходимо только одно: образовывать эти контуры так, чтобы каждый из них содержал вновь присоединяемую ветвь дерева. Отсюда следует правило формирования системы линейно независимых уравнений Кирхгофа для контуров.

Остается только сопоставить цепи топологический граф. Всякой цепи с n узлами и m контурами можно поставить в однозначное соответствие граф, если каждому узлу цепи сопоставить узел (вершину) графа, а каждой ветви цепи — ветвь (ребро) графа. Это соответствие, конечно, не будет взаимно-однозначным.

Процедура формирования линейно независимых уравнений Кирхгофа

1.Назначаем m искомых переменных. В их состав обязательно входят токи через ИН, напряжения на ИТ и напряжения или токи в остальных ветвях. Назначаем знаки напряжений на всех элементах и направления тока во всех ветвях.

2.Анализируемой цепи ставим в однозначное соответствие ее топологический граф, имеющий n узлов (вершин) и m ветвей (ребер).

3.Отсекая поочередно (n−1) узел, выполняем (n−1) независимое сечение.

4.Образуем одно из возможных деревьев с (n−1) ветвями и соответствующую ему систему ветвей связи из (m−n+1) ветвей.

5.Присоединяя к дереву поочередно по одной ветви связи, отмечаем независимые контуры, каждый из которых обязательно содержит вновь присоединенную ветвь связи.

6.Назначаем направление обхода независимых контуров и знаки членов в уравнениях Кирхгофа для узлов и контуров.

7.Записываем систему линейно независимых уравнений Кирхгофа для сечений и контуров.

Врамках примера из предыдущего подраздела

1.Искомые переменные — iu(t), ui(t), iLC(t).

2.

17

I

II

3. Сечений n−1=2. Отсекаем первый узел. Возможных деревьев три:

I I I

II

6.Назначили знаки (произвольно). Выбрали контуры (первая ячейка и внешний контур цепи).

7.Запишем уравнения К.:

iu (t ) − iLC (t ) + i(t ) = 0 u(t ) − uR (t ) − ui (t ) = 0

1 t

u(t ) − uR (t ) − C ∫0 iLC dt = 0

Видно, что полученная система линейно независима. Можно показать, что результат преобразований инвариантен к совокупности тех или иных топологических операций.

§6. Формирование обобщенной модели нелинейной детерминированной цепи с сосредоточенными параметрами. Формулировка общей задачи анализа динамики электрической цепи

Обозначим

18

dx(t ) = Dx(t ) dt

d n x(t ) = D n x(t ) dt n

t

∫ x(t )dt = D −1 x(t )

0

tt

∫K∫ x(t )dt n = D n x(t )

10 230

n раз

D 0 x(t ) = x(t )

19

В этих обозначениях можно записать известные нам факты более коротко. В случае линейной индуктивности и емкости:

где D, D−1, x(t), f(t) определены ранее, F — вектор-функция, L — вектор линейных операторов. В нашем конкретном случае L = Σ.

Уравнение (1) описывает все детерминированные цепи с сосредоточенными параметрами.

Оператор L и вектор-функция F зависят от той предметной области, в которой уравнение (1) составлено: теория цепей, экономика, астрономия…

Общей задачей динамики цепи называется задача составления и решения (1) применительно к электрическим цепям, т.е. задача отыскания таких параметров x(t), которые обращают (1) в тождество.

20