lekcii toe
.pdf4.Проверяем условие существования и единственности решения уравнения (4): det[DE − A] ≠ 0 и решаем уравнение (4) с точностью до постоянных интегрирования.
5.Анализируем цепь до коммутации и находим предначальные условия iLm (0− ) и
uCm (0− ).
6.По правилу коммутации находим начальные значения iLm (0+ ) и uCm (0+ ).
7.По уравнениям состояния и вытекающим из него уравнениям находим N − 1 начальное условие для старших производных от переменных состояния, где N – порядок цепи.
8.Формируем алгебраическую систему уравнений относительно постоянных интегрирования, решаем ее и записываем окончательный ответ.
9.Проверка. Полученные решения подставляем в исходные уравнения и обращаем их в тождества. Если проверка не прошла, то приступаем к поиску ошибок.
10.Если проверка прошла успешно, то строим эквивалентную схему замещения, в которой к R-цепи подключены независимые источники и зависимые взамен емкостей и индуктивностей, с известными теперь напряжениями и токами и любым удобным способом находим искомые реакции, не являющиеся переменными состояния.
§5. Пробные сигналы. Единичная ступенчатая функция Хевисайда. Единичная импульсная функция Дирака. Обобщенная производная и обобщенная функция. Переходная и импульсная характеристики цепи.
Пробные сигналы
f (t ) |
F (t ) |
F (t ) = D −1 f (t )
t |
t |
x(t ) |
X (t ) |
X (t ) = D −1 x(t )
t |
t |
Если для линейной цепи известна реакция на один сигнал, то непременно можно построить процедуру, которая позволит вычислить реакцию на любой сигнал.
Отсюда сделует, что нужно решить две задачи:
1.Подобрать хороший пробный сигнал.
2.Построить аппарат с использованием этого сигнала, который позволил бы эффективно вычислять реакцию на любой другой сигнал, если известна реакция на пробный.
Единичная ступенчатая функция Хевисайда
Требованиям предыдущего пункта удовлетворяет, например, функция Хевисайда
31
δ (t ) = 0, t < 0 . |
δ1 (t ) |
|
1 |
1, t ≥ 0 |
|
|
|
|
Преимущества |
|
1 |
•простая,
•частные решения ДУ — константы,
• легко модифицировать под конкретные |
0 |
t |
нужды (например, ввести δ1(−t), δ1(t − τ) — |
|
|
|
|
|
см. рис.), |
δ1 (− t ) |
|
•с ее помощью можно «вырезать» части
других функций (см. рис), |
1 |
•предначальные условия при использовании в качестве пробного сигнала всегда равны
нулю (из определения δ1(t)). |
0 |
t |
|
|
|
f (t )δ1 (t − τ) |
|
|
f (t )δ1 (t − τ1 )(τ2 − t ) |
0 |
τ |
t |
0 |
τ1 τ |
t |
|
2 |
δ1 (t − τ)
1
0 |
τ |
t |
|
Единичная импульсная функция Дирака
|
|
φ(t ) |
|
|
|
|
|
Dφ(t ) |
2 |
|
|
|
|
|
|
D 2 φ(t ) |
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|||||||
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
τ |
|
|
|
|
|
|
|
τ2 |
τ |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
0 |
|
|
τ |
t |
|
|
|
|
0 |
|
|
t |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
− |
τ |
τ |
t |
− |
τ |
|
|
− |
τ |
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
2 |
|
|
|
|
2 |
|
|
2 |
|
|
2 |
− |
4 |
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
τ2 |
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
δ (t ) |
|
|
|
|
|
δ (t ) |
|
|
|
|
|
|
|
δ−1 (t ) |
|
|
|||||||
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
t |
|
|
|
|
|
t |
|
|
|
|
0 |
|
|
t |
Единичная импульсная функция Дирака (она же δ-функция Дирака) представляет собой бесконечно короткий импульс бесконечно большой высоты с площадью, равной единице. Естественно, что дельта-функция — математическая абстракция, и на практике не осуществима. Но это полезная абстракция, т.к. близкие к ней сигналы осуществить можно.
Введем дельта-функцию формально. Пусть
32
|
|
|
t > |
|
τ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
2 |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
τ |
|
||||||||||||
|
|
|
t + |
|
|
|
|
|
|
|
t |
|
|
|
|
+ 0,5 |
|
|
t − |
|
|
|
; 0 |
||||||||||||||||||
|
τ |
|
|
τ |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
||||||||||||
φ(t ) = |
2 |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
τ |
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
t − |
|
|
|
|
|
|
|
t |
|
|
|
|
+ 0,5 |
|
|
t |
0; |
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
τ |
|
|
τ |
2 |
|
|
|
|
|
2 |
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
τ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
0 |
t < − |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
Тогда |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
τ |
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+ |
|
|
|
|
|
t t |
− |
|
|
|
|
|
; 0 |
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
τ |
|
|
|
|
|
τ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
Dφ(t ) |
|
2 |
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
τ |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
= |
|
|
|
|
− |
|
|
|
|
|
t t 0; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
τ |
|
|
|
|
|
τ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
< − |
τ |
|
|
|
|
> |
|
τ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
0 |
|
t |
, |
|
t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
τ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
t − |
|
|
|
; 0 |
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
τ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
τ |
|
|
|
|
||||||||||
D |
|
φ(t ) = − |
|
|
|
|
|
|
|
t 0; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
τ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
t < − |
τ |
|
|
|
|
|
|
> |
τ |
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
, t |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
||||||||
Из рисунка очевидно, что |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
lim φ(t ) = δ1 (t ) . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
τ→0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Такое описание функции δ1 (t ) соответствует уже данному ранее определению. Также очевидно, что
lim Dφ(t ) = ∞ |
t = 0 |
|
τ→0 |
0 |
t < 0 , t > 0 |
|
|
Эту функцию назовем единичной импульсной функцией Дирака.
1. |
δ0 |
(t ) = ∞ t = 0 |
|
|
0 t < 0 , t > 0 |
|
0+ |
|
2. |
∫δ0 (t )d t = 1 |
|
|
0− |
|
Это функция Дирака нулевого порядка или δ-функция. |
Функция δ−1 (t ) называется функцией Дирака −1 порядка.
1. δ−1 (t ) = ± ∞ t = 0
0 t < 0 , t > 0
0+
2.∫δ−1 (t )d t = 0
0−
Достаточно очевидны следующие соотношения:
δ0 (t ) = Dδ1 (t ), δ−1 (t ) = Dδ0 (t ) = D 2 δ1 (t ) .
33
Обобщенная производная и обобщенная функция
Обобщенная производная совпадает с классической, ньютоновской производной всюду, где дифференцируемая функция непрерывна и дополняет там, где дифференцируемая функция имеет разрывы первого рода. Это дополнение имеет вид функций Дирака. Определим весовые коэффициенты этих дополняющих функций.
δ1 (t )
1
Dδ1 (t ) = δ0 (t ) t = 0
0 t
|
|
dδ1 |
(t ) |
= 0 t ≠ 0 |
δ0 (t ) |
|
dt |
||
|
|
|||
|
|
|
|
|
0 |
t |
|
|
δ0 (t ) = Dδ1 (t ) = [δ1 (0+ )− δ1 (0− )]δ0 (t ) = [1 − 0]δ0 (t ) = δ0 (t )
Из этого рассмотрения следует, что весовой коэффициент δ-функции в точке разрыва равен разности значений, дифференцируемой функции справа и слева от точки разрыва.
f (t ) |
f (τ− ) |
|
d f (t ) |
|
Df (t ) |
|
[f (τ + )− f (τ− )]δ |
|
(t − τ) |
|
|
|
|
|
|
|
0 |
||||
f (τ+ ) |
|
dt |
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
0 |
τ |
t |
0 |
τ |
t |
0 |
τ |
t |
|
Символом d f (t ) будем обозначать классическую производную. dt
Символом Df (t ) будем обозначать обобщенную производную.
И тогда эту обобщенную производную можно определить следующим образом:
Df (t ) = [f (τ+ )− f (τ− )]δ0 (t − τ) + d f (t ) dt
Из проделанного обобщения следует, что могут быть определены и обобщенные функции, которые состоят из импульсных и непрерывных составляющих. Импульсные составляющие назовем сингулярными, а непрерывные составляющие — регулярными. Тогда запишем обобщенную функцию в виде:
− J
f (t ) = f − (t ) + f + (t ) = ∑S j δj (t − τ j )+ f + (t )
j =0
где S j - весовые коэффициенты импульсных функций, J - это предельный порядок
импульсных функций, τ |
j |
- моменты разрыва первого рода, f + (t ) - аналитическая |
|
|
функция (имеющая разложение в ряд Тейлора).
34
Переходная и импульсная характеристики цепи
Переходной характеристикой называется реакция цепи на единичное воздействие при нулевых предначальных условиях, и обозначается h1 (t ) .
Импульсной характеристикой называется реакция цепи на единичное импульсное воздействие при нулевых предначальных условиях, и обозначается h0 (t ) .
В силу линейности цепи реакции на единичное и единичное импульсное воздействие связаны:
h0 (t ) = Dh1 (t )
В общем случае, когда переходная характеристика имеет разрыв первого рода:
|
|
|
h0 (t ) = Dh1 |
(t ) = h1 |
(0 |
+ |
)δ0 (t ) + |
d h1 (t ) |
− |
(t ) |
+ |
(t ) . |
||||
|
|
|
|
|
= h0 |
+ h0 |
||||||||||
|
|
d t |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
В том случае, когда переходная характеристика имеет ненулевое начальное |
||||||||||||||||
значение, то при t = 0+ появляется сингулярная составляющая h |
(0+ )δ (t ) . |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
0 |
Пример |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
i(t) |
+ |
|
|
|
|
|
|
Дано: |
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
R |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
R, C |
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
+ |
|
|
|
|
|
|
|
||||
u(t) |
+ |
|
|
C |
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
Найти: |
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
i(t ) t ≥ 0
1) h1(t), 2) h0(t)
1) u(t ) = δ1 (t )
uC (0− ) = 0
Решив задачу по сформированной в §4 процедуре, получим
uC (t ) = 1 e R
h1 (0+ ) = 1
R
− 1 t
RC = h1 (t )
.
2) u(t ) = δ0 (t )
uC (0− ) = 0
h0 (t ) = Dh1 (t ) = h1 (0+ )δ0 (t ) −
Графически
−
1
R 2 C
1 |
− |
1 |
t |
1 |
|
|
|||||
e RC = |
|||||
RC 2 |
R |
||||
|
|
|
1 δ0 (t ) = h0− (t )
R
− |
1 |
− |
|
|
e |
||
R2C |
|||
|
|
|
|
|
1 |
|
− |
1 |
t |
|
δ |
|
(t ) − |
e |
|
RC = h − (t ) + h + (t ). |
|||
0 |
|
|||||||
|
|
RC 2 |
|
0 |
0 |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
1 t
RC = h0+ (t )
35
Особый случай правила коммутации
Особый случай правила коммутации возникает, когда в цепи действуют импульсные функции токов и напряжений. В этом случае законы непрерывности потока сцепления и заряда перестают действовать и необходимо ввести дополнения, которые бы позволили находить начальные значения токов в индуктивностях и напряжений на емкостях.
Предположим, что через емкость протекает δ-функция тока: iC (t ) = S0 δ0 (t ) , тогда при
t = 0+
u |
|
(0+ )= |
1 |
0+ i (t )d t = |
1 |
0+ S |
δ |
|
(t )d t + u |
|
(0− )= |
S0 |
+ u |
|
(0− ). |
C |
|
|
0 |
C |
|
C |
|||||||||
|
|
C |
C |
C |
0 |
|
|
|
C |
|
|||||
|
|
|
∫− |
∫− |
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
0 |
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Следовательно, в этом случае uC (0+ ) ≠ uC (0− ).
Предположим к индуктивности приложена δ-функция напряжения uL (t ) = S0 δ0 (t ) ,
тогда при t = 0+
i |
|
(0+ )= |
1 |
0+ u |
|
(t )d t = |
1 |
0+ S |
δ |
|
(t )d t + i |
|
(0− )= |
S0 |
+ i |
|
(0− ). |
L |
|
L |
|
0 |
L |
|
L |
||||||||||
|
|
L |
∫− |
|
L |
0 |
|
|
|
L |
|
||||||
|
|
|
|
|
∫− |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
0 |
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Следовательно, в этом случае iL (0+ ) ≠ iL (0− ). Таким образом, напряжение на емкости и ток через индуктивность могут быть разрывными.
Общий вывод: во всех случаях (изменение емкости и индуктивности, δ-функции токов и напряжений) начальные значения напряжений на емкостях и токи через индуктивности могут быть найдены. Это и есть правило коммутации в общей форме.
§6. Интеграл наложения (интеграл Дюамеля) через переходную и импульсную характеристику
Интеграл наложения — это математический аппарат, который позволяет по известной переходной или импульсной характеристике найти реакцию на любой произвольный сигнал.
Интеграл наложения через переходную характеристику
Пусть |
для |
произвольной |
цепи известна |
ее реакция |
на входной сигнал |
f (t ) = δ (t ) h (t ) , |
на вход цепи |
действует сигнал |
f (t ) = f + (t ) |
произвольной формы. |
|
1 |
1 |
|
|
|
|
Необходимо найти реакцию цепи на такой сигнал, т. е. x(t ) . f (t )
f (0+ )
0 |
t |
Воспользуемся единичной ступенчатой функцией для того, чтобы входной сигнал аппроксимировать прямыми.
36
f (t ) |
f (2 τ) |
f ( τ)
0 |
τ |
2 τ |
t |
|
N
f (t ) ≈ f (0+ )δ1 (t ) + ∑ f (n τ) δ1 (t − n τ)
n=1
Очевидно, что в силу линейности цепи реакция на воздействие f (t ) будет
N
x(t ) ≈ f (0+ )h1 (t ) + ∑ f (n τ) h1 (t − n τ)
n=1
f (t )
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
f (n |
τ) |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
α |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
( |
|
(n −1) |
τ |
′[( |
|
|
|
n |
τ |
] |
|
|
|
|
|
|
|
|
t |
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
f |
n |
τ |
) |
= |
f |
|
|
|
|
|
|
) |
|
τ |
τ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n − 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
N |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
f (t ) ≈ f (0+ )δ1 (t ) + ∑ f ′[(n − 1) τ] δ1 (t − n τ) τ |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
N |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
( ) |
≈ f |
|
( |
|
+ ) |
h1 |
( ) |
+ |
∑ f |
′[( |
n |
|
|
|
|
) |
τ |
] |
( |
τ |
) |
τ |
||||||||||||||
|
|
|
x t |
|
|
|
0 |
|
|
|
t |
|
|
|
|
− 1 |
|
h1 t − n |
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Перейдем к интегралу, |
τ → d τ |
|
|
τ → 0 : |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
( |
+ ) |
|
|
|
|
|
|
|
|
t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
( ) |
= f |
δ1 |
( ) |
+ |
∫ |
f |
′( |
τ |
) |
|
( |
|
− |
τ |
) |
d |
τ |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
f t |
0 |
|
|
t |
|
|
|
|
δ1 |
t |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x(t ) = f (0+ )h1 (t ) + ∫ f ′(τ) h1 (t − τ)d τ |
|
|
|
|
(1) |
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Интеграл (1) называется интегралом наложения или интегралом Дюамеля. |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
( + ) |
|
|
t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
( ) |
= |
|
f |
( ) |
h1 |
+ ∫ f |
|
( |
τ |
) |
|
′ |
( |
t − |
τ |
) |
d τ |
|
|
|
|
(2) |
||||||||||||||||
|
|
x t |
|
|
t |
|
|
0 |
|
|
|
|
|
h1 |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x(t ) = f (0+ )h1 (t ) + ∫ f ′(t − τ) h1 (τ)d τ |
|
|
|
(3) |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
( + ) |
|
|
t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
( ) |
= |
|
f |
( ) |
h1 |
+ ∫ f |
|
( |
t − |
τ |
) |
|
|
′( |
τ |
) |
d τ |
|
|
|
|
(4) |
||||||||||||||||
|
|
x t |
|
|
t |
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
h1 |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Примечание. Символом |
|
′( ) |
и |
|
′( |
|
) |
|
обозначены классические производные. Для |
|||||||||||||||||||||||||||||||
f |
t |
|
h1 |
t |
|
|
|
конкретных вычислений выбирают формулу (1–4), по которой проще считать.
37
Интеграл наложения через импульсную характеристику
Из связи между h1(t) и h0(t) имеем |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
( |
) |
|
( |
|
+ ) |
( ) |
|
′( |
) |
|
|
|
||||||
h0 |
t |
|
= h1 0 |
|
|
|
δ0 t |
|
+ h1 |
t |
|
|
|
|
|
|||
′( |
τ |
) |
= h0 |
( |
τ |
) |
− h1 |
( |
+ ) |
δ0 |
( |
τ |
) |
(5) |
||||
h1 |
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
||||||||
Подставив (5) в (4) получим: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
t |
|
x(t ) = f (t ) h1 (0+ )+ ∫ f (t − τ)[h0 (τ) − h1 (0+ )δ0 (τ)]d τ = f (t ) h1 (0+ )+ ∫ f (t − τ) h0 (τ)d τ − |
|
|||||||||||||||||
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
t |
|
|
|
t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
t |
|
− ∫ f (t − τ) h1 (0+ )δ0 (τ)d τ = f (t ) h1 (0+ )+ ∫ f (t − τ) h0 (τ)d τ − f (t ) h1 (0+ ) = ∫ f (t − τ) h0 (τ)d τ
0 0 0
Итого получили:
t |
|
x(t ) = ∫ f (t − τ) h0 (τ)d τ . |
(6) |
0 |
|
Примечание. Поскольку все формулы Дюамеля связаны с переходной или импульсной характеристиками, а они определены при нулевых предначальных условиях, то в тех случаях, когда предначальные условия ненулевые, их следует выделить в виде дополнительных зависимых источников. Затем вычислить реакцию цепи, во-первых, с помощью интеграла Дюамеля при нулевых предначальных условиях и, во-вторых, обычным образом, от выделенных зависимых источников. Далее пользуясь линейностью цепи сложить эти реакции.
§7. Анализ кусочно-линейной цепи в t-области
Анализ кусочно-линейной цепи отличается анализом переходных процессов при коммутации.
Анализ кусочно-линейной цепи сводится к n-кратному повторению анализа линейной цепи при переходе с одного участка линейности на другой с соответствующим изменением параметров цепи и предначальных условий.
38
Глава 3. Анализ пассивных и активных кусочно- линейных цепей в области комплексной переменной p =
σ + jω
§1. Преобразования Лапласа. Его основные свойства и теоремы
Пусть имеется функция f (t). Ее преобразованием Лапласа называется
∞
[ f (t)] = F ( p) = ∫ f (t)e − pt d t ,
0
где p = σ + jω — комплексная переменная, t > 0, f (t) < Mect , M ++ , c < σ .
Лапласов интеграл преобразует переменную t в переменную p. Основные свойства интеграла Лапласа:
1.[αf (t)] = α [ f (t)]
2.[ f (t) + g (t)]= [f (t)]+ [g (t)]
Основные теоремы:
1. D n f (t) ÷ p n F ( p) − p n−1 f (0− ) − p n−2 f ′(0− ) − ... − pf ( n−2) (0− ) − f ( n−1) (0− )
2. |
|
d n F ( p) |
÷ (−t)n f (t) |
|||||||||||
|
|
|||||||||||||
|
|
|
d p |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∞ |
∞ |
|
|
|
|
|
|
F ( p) |
|
|||
3. |
|
∫ |
...∫ f (t) d t |
n |
÷ |
|
||||||||
|
|
|
|
p |
n |
|||||||||
|
0− |
0− |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
∞ |
∞ |
|
|
|
|
|
|
|
f (t) |
|||
4. |
|
∫...∫F ( p) d p n ÷ |
||||||||||||
|
|
|
||||||||||||
|
t n |
|||||||||||||
|
|
p |
p |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5. |
|
f (t ± τ)δ (t ± τ) ÷ F (P)e± pτ |
||||||||||||
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6. |
|
F ( p m α) ÷ f (t)e± αt |
||||||||||||
|
|
|
|
1 |
|
p |
|
|
|
|
|
|||
7. |
|
f (αt) ÷ |
|
|
F |
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
α |
|
α |
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
t |
|
|
|
|
|
t |
8. |
|
F1 ( p)F2 ( p) ÷ ∫ f1 (τ) f 2 (t − τ) d τ = ∫ f1 (t − τ) f 2 (τ) d τ |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
0− |
|
|
|
|
|
0− |
9.f (0+ ) = lim pF ( p)
p→∞
10. f (∞) = lim pF ( p)
p→0
Отметим, что, как видно из теорем (1) и (3), операции дифференцирования и интегрирования алгебраизуются. Следовательно, если использовать преобразования Лапласа для решения линейных интегрально-дифференциальных уравнений, то эта задача алгебраизуется. Отметим, также, как видно из теоремы (9), начальное значение временной функции может быть вычислено по ее изображению, а из теоремы (1) видно, что надо знать предначальные условия, следовательно, при использовании операторного метода правило коммутации становится излишним.
Изображения некоторых функций:
[δ0 (t)] = 1
[δ−n ]= p n , n
[δ1 (t)]= 1 p
39
[e−αt ]= |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
p + α |
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
||||
[te−αt ]= |
1 |
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|||
( p + α)2 |
||||||||
|
|
|||||||
[cos(ωt)]= |
|
ω |
||||||
|
|
|
|
|||||
p 2 + ω2 |
||||||||
|
|
|
|
|||||
[sin(ωt)]= |
|
|
p |
|||||
|
|
|
|
|||||
|
2 + ω2 |
|||||||
|
|
|
|
p |
§2. Постановка общей задачи анализа кусочно-линейных цепей в области комплексной переменной p = σ + jω. Вычисление обратного к преобразованию Лапласа с помощью теоремы Хевисайда
Общая задача анализа кусочно-линейных цепей в p-области
При переходе в p-область возможны следующие постановки задачи:
а) Можно преобразовать по Лапласу дифференциально-интегральные уравнения, описывающие динамику L- и C-элементов. На основании полученных
алгебраических уравнений построить операторную схему замещения этих элементов. Затем из них построить операторную схему замещения цепи и описать ее алгебраическими уравнениями Кирхгофа, относительно изображений искомых переменных. Далее решить эти уравнения относительно изображений.
б) Описать анализируемую цепь дифференциально-интегральными уравнениями Кирхгофа в t-области. С помощью теорем (1) и (3) преобразовать эти уравнения по Лапласу, получить в результате алгебраические уравнения относительно изображений искомых переменных и затем решить их.
в) Описать исследуемую цепь в t-области уравнениями состояния, преобразовать их по Лапласу и полученные алгебраические уравнения, относительно изображений искомых переменных, решить обычным образом.
Вычисление обратного преобразования Лапласа с помощью т. Хевисайда
В силу того, что формула Лапласа
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x(t ) = |
|
|
∫ F ( p)e pt dp |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
j 2π |
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
−∞ |
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
практически непригодна для поиска обратного преобразования, рассмотрим |
||||||||||||||||
вычисление функции x(t), как это было предложено Хевисайдом. |
|
|||||||||||||||
Решив систему уравнений относительно X ( p) , получим: |
|
|||||||||||||||
|
′ |
|
′ |
|
m |
|
′ |
|
|
m−1 |
|
′ |
′ |
|
||
X ( p) = |
B ( p) |
= |
bm p |
|
+ bm−1 p |
|
+ ... + b1 p + b0 |
, где m ≥ n , m = n |
+ J . |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
A( p) |
|
a |
n |
p n |
+ a |
n−1 |
p n−1 + ... + a p + a |
0 |
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
Вспомним, что:
− J
x(t) = x − (t) + x + (t) = ∑S j δj + x + (t) .
j =0
Следовательно:
X ( p) = X − ( p) + X + ( p) , где X − ( p) - изображение сингулярной составляющей,
X + ( p) - изображение регулярной составляющей.
|
′ |
( p) |
− J |
|
B( p) |
|
|
|
|
|
|||
X ( p) = |
B |
= ∑S j |
p − j + |
, где deg( A) ≥ deg(B) . |
||
|
|
|
||||
|
A( p) j =0 |
|
A( p) |
40