Тема 5. Средние величины

Средняя величина (в статистике) – обобщающий показатель, характеризующий типичный размер или уровень общественных явлений в расчете на единицу совокупности при прочих равных условиях.

Средняя арифметическая простая (невзвешенная) равна сумме отдельных значений признака, деленной на число этих значений.

Формула называется средней арифметической взвешенной:

Если рассмотреть формулу средней арифметической взвешенной в следующем виде

,

то видно что каждая варианта взвешивается через ее удельный вес .

Средняя арифметическая обладает рядом свойств:

1. От уменьшения или увеличения частот каждого значения признака х в п раз величина средней арифметической не изменится.

2. Общий множитель индивидуальных значений признака может быть вынесен за знак средней:

3. Средняя суммы (разности) двух или нескольких величин равна сумме (разности) их средних:

4. Если х = с, где с - постоянная величина, то .

5. Сумма отклонений значений признака от средней арифметической равна нулю:

Средняя гармоническая величина – обратная средней арифметической из обратных значений признака. Формула для расчета средней гармонической простой будет иметь вид:

Формулу для расчета средней гармонической взвешенной можно представить в общем виде:

Средняя хронологическая применяется для оценки среднего уровня ряда динамики. При наличии информации на моменты времени с равными интервалами между ними используется средняя хронологическая простая:

, где

n – число моментов (дат)

Средняя геометрическая применяется, как правило, для оценки среднего показателя относительных величин.

Средняя геометрическая простая определяется по формуле:

Средняя геометрическая взвешенная определяется по формуле:

Средняя квадратическая применяется для определения средних размеров диаметров труб стальных, стволов деревьев и т.д. Этот вид средней также используется при расчете показателей вариации

• простая:

• взвешенная:

Мода - это величина признака (варианта), наиболее часто повторяющаяся в изучаемой совокупности.

Для интервальных рядов распределения с равными интервалами мода определяется по формуле:

где - начальное значение интервала, содержащего моду;

- величина модального интервала;

- частота модального интервала;

- частота интервала, предшествующего модальному;

- частота интервала, следующего за модальным.

При этом модальным интервалом называется интервал с наибольшей частотой.

Медиана - это варианта, расположенная в середине упорядоченного вариационного ряда.

Медиана интервального вариационного ряда распределения определяется по формуле

где — начальное значение интервала, содержащего медиану;

— величина медианного интервала;

— сумма частот ряда;

— сумма накопленных частот, предшествующих медианному интервалу;

— частота медианного интервала.

Вопросы:

1. Что такое средние величины и каковы их роль и значение?

2. Какие существуют средние величины и как рассчитываются средняя арифметическая простая и взвешенная?

3. Как осуществляется расчет средней арифметической по дан­ным интервального ряда?

4. Свойства средней арифметической.

5. Средняя хронологическая для интервального и моментного ряда.

6. Что такое средняя гармоническая и как рассчитать среднюю гармоническую простую и взвешенную?

7. В чем сущность моды и как она рассчитывается для вариа­ционного и интервального ряда?

8. Что такое медиана, какими свойствами она обладает и как рассчитывается медиана для интервального ряда?

9. Квартили и децили. Для каких целей они применяются и как они рассчитываются?