Правила критериев

1. Правило max-max. Выбирается число, которое соответствует наибольшему доходу (в нашем примере это «30», т.е.рисковое решение).

2. Правило max-min. Это политика очень осторожного человека: пусть немного, но доход должен быть. Это будет «6» в первой строке – максимальное из минимальных чисел (см.матрицу по доходам).

3) Правило min-max. Это правило для человека, который понимает, что могут быть потери от неиспользованных возможностей наряду с распродажами и хотел бы выбрать такой вариант, который гарантировал бы минимальные потери. Поэтому отмечаем в каждом столбце максимальные потери, т.е.24,18,12,12,16, затем выбираем тот вариант, где потери минимальные – это величина «12» (см.матрицу по убыткам).

Вероятностные методы принятия решений

в задачах создания резерва запасов.

I Теорема сложения вероятностей (для несовместных событий).

Если А и В – 2 несовместных события, то вероятность того, что произойдет одно из них равная сумме их вероятностей.

РАилиБ = РА + РБ (17.1)

Несовместные события – когда появление одного исключает появление другого.

Пример: Вероятность того, что товар приобретен в Италии Ри = 0,4, а в Турции Рт = 0,3.

Ри или т = Ри + Рт = 0,4+0,3=0,7

Следствия:

1) Сума вероятностей несовместных событий =1. РА + РВ = 1

2) Вероятность противоположных событий равна разности между 1 и вероятностью события. РĀ= 1- РА (17.2)

II Теорема умножения вероятностей.

Если А и В – 2 совместных независимых события, то вероятность того, что произойдут оба события = РАиВ = РА*РВ (17.3)

Независимые события – события, при которых вероятность одного из них не меняется от того, что произошло другое событие.

Пример: Вероятность летной погоды Рл = 0,9, а вероятность того, что при условии летной погоды груз будет доставлен своевременно Рд = 0,8. Какова вероятность, что груз будет доставлен своевременно.

Рсв = Рл * Рд = 0,9*0,8=0,72

III Теорема сложения вероятностей для совместных событий.

Если А и В – 2 совместных события, то вероятность наступления одного из них = РАилиВ = РА + РВ - РА * РВ (17.4)

Примеры: Автомобиль снабжен двумя противоугонными устройствами Рм = 0,9 Рэ = 0,8. Какова вероятность, что машину не угонят?

Рм или э = Рм + Рэ – Рм * Рэ = 0,9+0,8-0,9*0,8=1,7-0,72=0,98

Задача создания резерва запасов (пекарня).

Предприятие печет хлеб на продажу магазинам.

Себестоимость - Сп продукции составляет 2 рубля.

Цена продажи - Цп = 3 руб.

Априорная вероятность объема продаж приведена в таблице:

Спрос в тыс. руб.	10	12	14	16	18	Всего
Частота наступления спроса	5	10	15	15	5	50 дней
Рс = m/n	0,1	0,2	0,3	0,3	0,1	Сумма =1

При объеме продаж М=10 тыс. изделий, объем выпуска N=10 тыс. изделий. При этом запасов сырья на складе достаточно чтобы произвести З п = 10 тыс. изделий. Какой резерв запаса сырья надо создать, чтобы обеспечить максимальную выручку от продаж с минимальным риском.

Решение:

1. Строим матрицу доходов:

N M	10 maxmin	12	14	16	18
10	10	6	2	-2	-6
12	10	12	8	4	0
14	10	12	14	10	6
16	10	12	14	16	12
18	10	12	14	16	18 maxmax

Д = М * Ц – С * N (17.5)

2) Строим матрицу потерь

N/ M	10	12	14	16	18
10	0	4	8	12	16
12	2	0	4	8	12
14	4	2	0	4	8
16	6	4	2	0	4
18	8	6	4	2	0

Сп = |M - N|*C (17.6)

Рассчитываем риск как произведение потерь на вероятность их наступления:

R=Сп*Р (Сп) (17.7)

Строим матрицу рисков:

N Рсп	10	12	14	16	18
0,1	0	0,4	0,8	1,2	1,6
0,2	0,4	0	0,8	1,6	2,4
0,3	1,2	0,6	0	1,2	2,4
0,3	1,8	1,2	0,6	0	1,2
0,1	0,8	0,6	0,4	0,2	0

Матрица рисков получена путем умножения вектора-столбца Рсп на квадратную матрицу М*N.

Из матрицы рисков можно рассчитать суммарные риски, по каждому столбцу матрицы рисков. ∑ Ri = 4,2; 2,8; 2,6; 4,2; 7,6 (17.8)

Из (17.8) видно, что минимальный риск = 2,6 тыс. изделий. Это риск недобора этих изделий при наличии запаса сырья на складе.

Строим матрицу выручки В :

N / Рсп	10	12	14	16	18
0,1	1	0,6	0,2	-0,2	-0,6
0,2	2	2,4	1,6	0,8	0
0,3	3	3,6	4,2	3	1,8
0,3	3	3,6	4,2	4,8	3,6
0,1	1	1,8	1,4	1,6	1,8

Матрица выручки находится путем умножения вектора столбца (Рсп) на матрицу доходов.

Вероят. = Рсп*Д (17.9)

Рассчитаем суммарную выручку по каждому столбцу:

∑в = 10; 11,4; 11,6; 10; 6,6

Суммарная выручка будет максимальна при запасах сырья на складе не менее, чем на изготовление 14 тыс. изделий. Максимальная выручка В = 11,6 тыс. от реализации может быть обеспечена с минимальным риском отклонений от этой выручки на 2,6 тыс.

Лекция 18 Методы массового обслуживания и сетевого планирования в УР.

Метод массового обслуживания предназначен для выбора очередности выполнения заказов с учетом их приоритетности и доходности. Используется во всех сферах человеческой деятельности, где имеют место очереди, формируемые случайно. Случайность формирования очереди в этом методе задается моделью в виде плотности распределения вероятностей Пуассона.

Например: массовое обслуживание в процессах купли – продажи недвижимости сводится к очередности выполнения заявок на продажу жилой площади, исходя из критерия максимизации их количества.

Задачи массового обслуживания:

а) задача «поток работ – ресурсы» (критерий – какой-либо показатель качества использования ресурсов; непрерывность и равномерность использования, минимизация и др.);

б) задача запаса (минимизируются суммарные затраты на хранение материалов).

Выбор и обоснование метода оптимизации процесса обслуживания клиентов.

Основные положения теории массового обслуживания.

В науке, практической деятельности людей и в быту каждодневно создаются такие положения, когда возникает массовый спрос на обслуживание какого-либо специального вида, причем обслуживающая организация, располагая лишь ограниченным числом обслуживающих единиц, не всегда способна немедленно удовлетворять все поступающие заявки. Примеры такой ситуации хорошо известны каждому. Очереди у магазинных и билетных касс, в буфетах, парикмахерских и т.д.; невозможность получить билет на нужный поезд из-за его переполнения; задержка в посадке самолетов, вызываемая отсутствием свободных посадочных площадок; задержка в ремонте потерпевших аварию станков из-за нехватки ремонтных бригад - все эти и многие другие аналогичные, хорошо известные примеры, несмотря на существенные различия их реального содержания, с формальной стороны очень близки друг другу. Во всех подобных случаях перед теорией встает, в сущности, одна основная задача: установить с возможной точностью взаимную зависимость между числом обслуживающих единиц и качеством обслуживания. При этом качество обслуживания в различных случаях, естественно, измеряется различными показателями. Большей частью таким показателем служит либо процент заявок, получающих отказ (процент пассажиров, не получивших билетов на данный поезд), либо среднее время ожидания начала обслуживания (очереди различного рода). Разумеется, качество обслуживания во всех случаях тем выше, чем больше число обслуживающих единиц. Однако столь же очевидно, что чрезмерный рост этого числа сопряжен с излишним расходом сил и материальных средств. Чтобы избежать потерь материальных средств, устанавливают необходимый уровень качества обслуживания.  Затем находят минимальное число обслуживающих единиц, при котором можно обеспечить этот уровень.

В задачах подобного рода почти всегда приходится учитывать влияние случайного элемента на течение изучаемого явления. Количество поступающих заявок не является, как правило, постоянным, а испытывает случайные колебания. Время обслуживания заявок в большинстве задач не является стандартным, а подвержено случайным колебаниям от одной заявки к другой. Все эти элементы случайности отнюдь не имеют характера небольших "возмущений", нарушающих собой плавный и закономерный ход явления; напротив, они составляют собой основную черту в картине изучаемых процессов. Естественно поэтому, что математическим инструментом теории массового обслуживания должны стать понятия и методы теории вероятностей -математической дисциплины, посвященной изучению закономерностей случая.

ТЕОРИЯ МАССОВОГО ОБСЛУЖИВАНИЯ - раздел математики, изучающий системы, предназначенные для обслуживания массового потока требований случайного характера. Типичный пример такой системы - автоматическая телефонная станция, где случайным образом поступают "требования" - вызовы абонентов, а "обслуживание" состоит в соединении их с др. абонентами.

Теория массового обслуживания, математическая дисциплина, изучающая системы, предназначенные для обслуживания массового потока требований случайного характера (случайными могут быть как моменты появления требований, так и затраты времени на их обслуживание). Типичным объектом теории массового обслуживания, могут служить автоматические телефонные станции, на которые случайным образом поступают «требования» — вызовы абонентов, а «обслуживание» состоит:

в соединении абонентов с другими абонентами;

поддержании связи во время разговора и т. д.

Целью развиваемых в теории массового обслуживания методов является, в конечном счёте, определение разумной организации обслуживания, обеспечивающей заданное его качество. С этой точки зрения теорию массового обслуживания рассматривают как часть операций исследования. Теория массового обслуживания широко использует аппарат теории вероятностей и (в меньшей степени) математической статистики. Задачи теории массового обслуживания, сформулированные математически, обычно сводятся к изучению специального типа случайных процессов. Исходя из заданных вероятностных характеристик поступающего потока вызовов и продолжительности обслуживания и учитывая схему системы обслуживания (наличие отказов или очередей и т. п., см. также Очередей теория), Теория массового обслуживания определяет соответствующие характеристики качества обслуживания (вероятность отказа, среднее время ожидания начала обслуживания, среднее время простоя линий связи и т. д.). В ряде более простых случаев это определение возможно аналитическими методами, в более сложных случаях приходится прибегать к моделированию соответствующих случайных процессов по Монте-Карло методу.

  Пример. Предположим, что автоматическая линия связи имеет n одинаково доступных для абонентов каналов. Вызовы поступают в случайные моменты времени. Если при поступлении очередного вызова все n каналов линии связи оказываются занятыми, то поступивший вызов получает отказ и теряется. В противном случае немедленно начинается разговор по одному из свободных каналов, длящийся, вообще говоря, случайное время.

  Одной из характеристик эффективности работы такой линии связи является отношения _T/N_T числа _T вызовов, потерянных в течение времени Т, к общему числу N_T вызовов, поступивших за это время. Этот предел можно назвать вероятностью отказа.

  Другим, не менее естественным, показателем качества работы линии связи может служить отношения _Т/Т, где _Т — суммарное время, в течение которого за период Т все n каналов линии связи одновременно заняты. Этот предел можно назвать вероятностью занятости. Обозначим X(t) число каналов, занятых в момент t. Тогда, можно показать, что:

моменты поступления вызовов образуют пуассоновский поток однородных событий;

2) если длительности разговоров последовательных абонентов суть независимые (между собой и от моментов поступления вызовов) одинаково распределённые случайные величины, то 0, обладает эргодическим распределением, то естьслучайный процесс X(t), t существуют [не зависящие от начального распределения Х(0)] пределы

 

причём

     (*)

— произведение интенсивности потока поступленийгде вызовов на среднюю длительность разговора отдельного абонента. Кроме того, в этом случае р = р*, и их общее значение равно p_n. Формулы (*) используются для расчёта минимального количества каналов линии связи, обеспечивающей заданную вероятность отказа. Эти формулы называются Эрланга формулами. Следует добавить, что при отказе от условия 1) равенство р = р* может не выполняться.

 Основные формализованные зависимости обслуживания клиентов.

Известно [ ], что вероятность того, что в любой момент времени все каналы обслуживающие клиента из очереди окажутся свободными

1) Рс = (22.1)

где К – количество каналов занятых (операторов)

n – общее количество каналов (операторов)

а - t_о

- среднеожидаемое количество заявок на обслуживание в ед. времени (плотность потока заявок)

t_о - среднее время обслуживания 1 заявки

2) Среднеожидаемое число свободных каналов

Nс = (22.2)

Где Р_n - вероятность того, что все каналы будут заняты

Р_n = Рс (22.3)

3) Вероятность того, что в любой момент времени все каналы окажутся заняты

Р₃ = Рс (22.4)

4) Среднеожидаемое число занятых каналов

N_з = р_к (22.5)

5) Коэффициент простоя каналов К_n =

6) Доля загрузки каналов (за время обслуживания)

К_зак = (22.6)

7) Вероятность того, что К каналов заняты

Р_к = (22.7)

Задача на примере ОАО «ЦентрТелеком».

ОАО «ЦентрТелеком» принимает от граждан заявки на оплату телефонных счетов, прием телеграмм, на вызовы абонентов других городов и стран.

Среднеожидаемое количество заявок на обслуживание составляет 1 вызов в 2 минуты, средняя продолжительность приема заявки t₀ = 2 мин.

Определить какое количество операторов должно работать на приеме заявок на обслуживание, что бы обеспечить вероятность приема каждой заявки более Р=0,98.

Решение.

1) из условий задачи следует, что средне ожидаемое количество заявок на прием счетов, телеграмм =0,5 заявки в минуту.

2) по формуле (22.а) определяет а

а= * t₀=0,5*2=1 заявка.

3) из условий задачи следует, что вероятность того, что заявка не будет принята из-за занятости оператора, должна быть не более 0,02.

Р_n=1-0,98=0,02.

4) по формуле (22.3) расчетаем для различных значений К=n, начиная с 1 интересующей нас вероятность того, что К=n операторов заняты для n=к=1

Р_n= =0,5

Н е приемлемо т.к. Р_n=0,5 0,02 для n=к=2

Р_n=

Н е приемлемо, т.к. Р_n=0,2 0,02 для n=k=3

Р _n=

Н е приемлемо, т.к. Р_n=0,0625 0,02 для n=k=4

P_n=

Следовательно, требуется 4 оператора.

В ряде практических задач, связанных с выполнением комплекса работ, имеют место большое количество потребителей, которые выставляют свои “требования”, заявки, операции при наличии ограничений на порядок их выполнения длительности выделенного ресурса и т. п. со стороны исполнителя. Например, телефония, строительные работы, задачи с очередями и т.п. решаются методами теории обслуживания и сетевого планирования. В теории массового обслуживания рассматриваются задачи по назначению приоритета в обслуживании или поступающих заявок. В основу теории, в силу ее принципиальных статистических особенностей, положен закон Пуассона.

Примечание.

При обслуживании заявок имеют место сбои в обслуживающей системе. Способ устранения сбоев, их учета и построения надежных систем вытекает из теории массового обслуживания и определяет теорию надежности.

Частным случаем теории массового обслуживания является теория расписаний. Ее основным предметом являются методы установления порядка выполнения большого количества однородных работ. Частным случаем теории расписаний, когда работы разнородные, является сетевое планирование.

Методы решения задач планирования производства работ

при случайных воздействиях

Метод сетевого планирования используется тогда, когда надо определить в какой последовательности необходимо выполнять комплексные разнородные работы с min-ми временными, людскими, финансовыми и сырьевыми затратами. В основе метода лежит сетевой график, являющийся моделью реального будущего процесса, имеющий вид

2 4 7

1

3 5 8

6

В методе сетевого планирования выделяют три основных понятия:

• событие;

• работа;

• путь.

Событие – момент начала или окончания работы.

Р абота – обычное понятие i j.

Р абота фиктивная ( ) – связь между событиями.

Путь – последовательность работ от начального события до конечного события.

Правила построения графиков:

1. событие не считается наступившим, пока не выполнены все работы ведущие к нему;

2. каждому событию присваивается свой номер, нумерация слева направо;

3. событие j должен иметь номер больше i ;

4. ни одна работа, выходящая из данного события, не может начаться, пока не произойдет предшествующее событие;

5. в построении графиков введение фиктивных работ требует большого внимания и осторожности. Надо всегда проверять, чтобы фиктивные работы не нарушали ограничений на очередность и не вносили новых ограничений.

Расчет графиков складывается из определения:

1. ранних сроков наступления событий;

2. поздних сроков наступления событий;

3. нормы резерва времени (полный резерв);

4. свободного резерва времени;

5. критического пути.

При расчете графиков длительность выполнения новой работы определяется через оценки нижней границы выполнения работ – а и верхней границы – b. а – оптимистическая оценка, b – пессимистическая оценка. Определение ожидаемой длительности выполнения работ практически всегда производится методом экспертных оценок. Отправной точкой в этом методе является оценка – m, характеризующая время работ в стандартных условиях, тогда ожидаемая длительность выполнения работ t_ij имеет вид

t_ij= (a+4m+b)/6 (16.1)

Определение ранних сроков наступления событий

T^p_j= max(T^p_i + t_ij)

Определение поздних сроков наступления событий

Tⁿ_j = min(Tⁿ_j – t_ij)

Расчет резервов времени выполняется стандартными способами.

Лекция 19: «Игровой подход к процессу принятия

управленческих решений».

В игровом подходе обычно используются следующие классы игр:

1.матричные 2.кооперативные 3.безкоалиционные 4.статистические 5.антогонистические

Перечисленные игры используют следующие понятия:

«Игра» - взаимодействие двух или более лиц (сторон), имеющих основную цель – разрешение конфликта.

Игра предназначена для выработки рекомендации по рациональному образу действий участников конфликта.

«Игра» – упрощенная модель конфликтной ситуации.

От реальной конфликтной ситуации игра отличается тем, что ведется по вполне определенным правилам. В модели проводят ряд действий или «ходов» за игроков и в результате получают оценку (в деньгах, объем реализованной продукции).

Стороны, участвующие в конфликте обычно называют «игроками». Исход конфликта называют «выигрышем». Игру двух лиц называют «парной», разрешающей конфликт из их интересов.

Множественной называют игру столкновение интересов более двух игроков. Для анализа игры должны быть сформулированы правила игры и введена система условий, регламентирующая:

1)возможные варианты действий игроков.

2)объемы информации каждой из сторон о поведении другой.

3)результат игры, к которой приводит совокупность ходов.

Игра называется игрой с нулевой суммой, если один игрок выигрывает столько, сколько проигрывает другой. Интересы игроков противоположны; развитие игры во времени представляется последовательностью ходов.

« Ходом» называется выбор одного из предусмотренного правилами игры действий и его реализация.

Ходы: 1)личные 2)случайные

Личные - сознательный выбор игроком одного из возможных вариантов действий и его осуществление.

Случайные - выбор из ряда возможностей осуществляемый «механизмом» случайного выбора (бросание монеты).

Стратегией игрока называют совокупность правил выбора варианта действий при каждом личном ходе в зависимости от сложившейся на момент хода ситуации.

Количество стратегий может быть:

• конечным

• без конечным.

Игры: конечные, бесконечные.

Оптимальная стратегия – такая, которая при многократном повторении игры обеспечивает данному игроку максимально возможный среднестатистический выигрыш.

Модель игры – вспомогательный объект, описывающий механизм взаимодействия игроков.

Наиболее часто используются матричные игры.

В такой игре полагают, что игрок A имеет m-стратегий, а игрок B имеет n-стратегий. Такая игра называется m x n.

Стратегии: А1; А2…Аm – для игрока А.

В1; В2…Вn - для игрока В.

Е сли игра состоит из личных ходов, то выбор стратегий Аi и Вj однозначно определяет исход игры – выигрыш aij для всех сочетаний стратегий, то они образуют платежную матрицу, имеющую вид:

Вj Аi	В1	В2	…	Вj	…	Вn	α
А1	a11	a12	…	а1j	…	а1n	α1
А2	a21	a22	…	а2j	…	a2n	α2
…	…	…	…	…	…	…	…
Аi	аi1	аi2	…	aij	…	ain	αi
…	…	…	…	…	…	…	…
Аm	am1	am2	…	amj	…	amn	αm
β	β1	β2	…	βj	…	βn	…

нижняя граница цены игры

верхняя граница цены игры

α и β – платежные матрицы: значения причин α и β носят характер оценки игры для игроков А и В.

В правом верхнем углу матрицы значение α формирует нижнюю цену игры; в левом нижнем углу – верхнюю цену игры.

В общем случае, верхняя и нижняя цены игры имееют вид:

α ═ max αi ═ max min aji нижняя цены игры

β ═ min βj ═ min max aij верхнюю цену игры (19.1)

Рынок

Собственник ресурсов 1 Собственник ресурсов 2

Продавец Покупатель

Желаемая Цена

продаж ресурса 1 –

верхняя цена игры _________ β ═ min βj ═ min max aij

предел цены торга _________ q

продавца

__Седло игры____w

α ═ β

p_________ предел цены торга

покупателя

α ═ max αi ═ max min aji _________ Желаемая цена

покупки ресурса 1

– нижняя цена игры

Рис. 19.1 Графическое представление процесса торгов на рынке

В тех случаях, когда выражение 19.1 α ═ β игра имеет седловую точку, то есть элементы матрицы (opt).

Элемент матрицы является одновременно min в своей строке и max в своем столбце.

Общее значение цены игры при α ═ β называется чистой ценой игры.

Седловой точке соответствует пара стратегий сторон (Аi,Вj), которые являются оптимальными.

Совокупность этих стратегий называется решением игры в чистых стратегиях, в случае α ≠ β.

Смешанные стратегии – такие, которые получаются путем случайного чередования чистых стратегий.

Смешанные стратегии стороны А обозначают:

s*A ( P1, P2 …Pm) (19.2)

P1, P2, Pm –вероятности, с которыми применяются стратегии А1,А2…Аm соответственно.

∑Pi = 1

i=1

s*B (q1,q2…qn) (18.3)

∑i = qi = 1

j=1

Смешанные стратегии в результате дают пару оптимальных стратегий s*A и s*B и применительно к игре “2 х 2”.

P 1 = a22 - a21)

(a 11 + a22) – (a12+ a21)

P2=1-P1 (19.4)

q 1= a22 - a12

(a 11+ a22) – (a12+ a21)

q2 =1-q1 (19.5)

В этом случае чистая цена игры γ:

γ = a22 *a21 - a12 *a21

(a 11 + a22) – (a12+ a21)

Игра “2 х 2” имеет решение, которое можно получить в геометрической интерпретации.

Правила графического представления результатов игры:

1. На отрезке оси абцисс, длина которого =1 обозначим стратегию А1, а на правом – А2.

В промежуточной точке участка обозначаются смешанные стратегии стороны А.

2. Через точки А1, А2 проводят перпендикуляры к оси Х

Оси I, I и II, II.

На оси I, I откладывают выигрыши, при стратегии А1.

На оси II, II выигрыши при стратегии А2.

3. Стратегия противника В1 дает на осях I, I, II, II точки с координатами a11 и a21; А стратегия В2 - a12 и a22.

4. Ордината точки N пересечения стиратегий В1 и В2 дает величину выигрыша γ – цену игры.

Абцисса точки N дает вероятность обеих стратегий P1 и P2, которые равны расстоянию от точки s*A до правого и левого конца отрезка А1 и А2 соответственно. Нижняя (гарантированная) граница выигрыша выделена жирной линией.

I II

В2 В1

N

a 12

γ a21

a11 a22

I А1 P2 s*A P1 А2 II

Задача

Банк хочет купить акции некоторого А.О.; стремясь сделать покупку выгоднее банк снабжает А.О. информацией, которая может восприниматься:

правдивой - А1 и ложной - А2 .

А.О. может как проверить информацию - В1, так и не проверить – В2.

В такого класса задачах платежные матрицы игры обычно отражают величину прироста стоимости для успешной сделки для банка по отношению к вложенным средствам.