Тема 6. Методы выбора альтернатив в условиях случайных воздействий.
Лекция 17. Вероятностные методы принятия решений в
Задачах оптимизации закупок
Вероятность какого-либо события – это отношение количества исходов (m) в опытах к общему количеству опытов (n).
P = m/n 16.1.
Априорная вероятность (доопытная) – вероятность события до проведения эксперимента.
Апостериорная вероятность (послеопытная) - вероятность наступления события в конце эксперимента.
Безусловная
вероятность –
вероятность наступления события, не
связанного в опыте ни с каким другим
событием. (
).
Условная
вероятность –
вероятность события T
при условии, что произошло событие S.
(
).
Формула полной вероятности:
(16.2),
где:
- безусловная вероятность события T;
- условная вероятность того, что
событие Т наступит при наступлении
события
;
- априорная вероятность события
.
Формула Байеса:
(16.3)
Пример.
Прогноз
погоды на 12 июня показал, что день будет
солнечным (событие
).
Этот прогноз может быть ошибочным с
условными
вероятностями
P(
/
)=0.9
и P(
/
)=0.3;
апостериорные
вероятности
событий:
-
солнце,
-
дождь; априорные вероятности: P(
)=0,8,
P(
)=0,2.
тогда по формуле Байеса найдем
апостериорные вероятности:
P
=(0.9*0.8)/(0.9*0.8)+(0.3*0.2)=0.923
– вероятность солнца;
P
=1-0.923=0.0769
– вероятность, что пойдет дождь.
При решении задач, содержащих случайные события, необходимо иметь статистику наступления этих событий. Этой статистикой менеджер располагает практически всегда. Используя такую статистику, менеджер может с успехом решать задачи, в которых имеется зависимость конечного результата от случайного спроса.
Обычно такой класс задач подразумевает наличие трех видов критериев в принятии решений:
max-max (т.е. максимальный из максимумов);
min-max (минимальный из максимумов);
max-min (максимальный из минимумов).
Используя такого плана критериев, можно оперировать при решении задач оптимизации закупок, оптимизации создания резерва запасов и других аналогичных задач.
Можно использовать как вероятностный подход, так и без учета вероятности.
При вероятностном подходе часто используется статистическая средняя математического ожидания, имеющая вид:
(16.4).
Пример. Определить среднюю длину куска ткани, если результаты замеров представлены в таблице:
-
длина
42
41
40
39
38
37
n
частота
100
m
5
15
60
10
8
2
P=m/n
0.05
0.15
0.6
0.1
0.08
0.02
=
(42*0,05)+(41*0,15)+(40*0,6)+(39*0,1)+(38*0,08)+(37*0,02)=40,5м
Задачи по оптимизации закупок
Описание. Владелец кондитерской ежедневно закупает пирожное по С= 7руб. за 1шт., а продает по Ц=13руб. На следующий день оставлять пирожное нельзя, поэтому в конце дня он проводит распродажу оставшихся пирожных поЦр= 3руб. за штуку. Статистика фактических данных о реализации пирожных за прошлые 50 дней приведена в таблице.
Фактический спрос на пирожное
-
Спрос шт/день
1
2
3
4
5
результат
частота
5
10
15
15
5
P=m/n
0.1
0.2
0.3
0.3
0.1
Требуется определить, сколько пирожных необходимо закупить на следующий день, используя вышеуказанные критерии (max-max, min-max, max-min).
Решение. Рассчитаем в следующих таблицах доходы и убытки в день, которые будут зависеть от количества закупаемых и реализованных пирожных.
Строим матрицу по доходам
Закупки N |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
|
Спрос M |
||||||
1 |
6 |
2 |
-2 |
-6 |
-10 |
|
2 |
6 |
12 |
8 |
4 |
0 |
|
3 |
6 |
12 |
18 |
14 |
10 |
|
4 |
6 |
12 |
18 |
24 |
20 |
|
5 |
6 |
12 |
18 |
24 |
30 |
Дi = Мi * Цi – Ni *Ci ( при Мi < Ni) (17.5)
и Дi = Ni * (Сi – Црi) ( при Мi > Ni) ( 17.6)
где: Мi- объём продаж изделий i-го вида, i=(1,m); i = 1-5;
Ni – объём закупок изделий;
Сi - цена закупки единицы изделия;
Цпi - цена продажи единицы изделия.
Црi - цена распродажи единицы изделия
Строим матрицу потерь
Закупки N |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
|
Спрос M |
||||||
1 |
0 |
4 |
8 |
12 |
16 |
|
2 |
6 |
0 |
4 |
6 |
12 |
|
3 |
12 |
6 |
0 |
4 |
8 |
|
4 |
18 |
12 |
6 |
0 |
4 |
|
5 |
24 |
18 |
12 |
6 |
0 |
Сп = |M - N|*C
Потери Сп в 17.6 имеют денежное выражение и носят двоякий характер. Они возникают:
- от превышения спроса ( М – объёма продаж) над предложением
( N- объём производства);
– от превышения предложения ( N- объём производства) над спросом
( М – объёма продаж).Поэтому в выражении 17.6 их разница взята по модулю.
Рассчитываем риск как произведение потерь на вероятность их наступления: