9. Вопросы и задания при самостоятельной подготовке к экзамену

9.1. Элементы линейной алгебры

1. Что называется матрицей размера m×n? Приведите пример матрицы размерности 3×5? Чему равны элементы a₃₅, a₂₄, a₁₃ этой матрицы?

2. Как определяются линейные операции над матрицами и каковы их свойства? Можно ли сложить матрицы

а) A= и B= ; б) A= и B=

3. В каком случае можно умножить матрицу A на матрицу B? Каковы основные свойства операции умножения матриц? Возможна ли операция умножения матриц A∙B, B∙A, если

A= , B= .

4. Как происходит транспонирование матрицы. Найдите A^Т, если A= .

5. Что называется определителем? Как вычисляются определители второго, третьего, n-го порядков? Каковы основные свойства определителей? Вычислите определители матриц, если

A= , B= .

6. Что называется минором и алгебраическим дополнением? Найдите M₁₃ и A₃₄ элементов a₁₃ и a₃₄ матрицы

A= .

7. Вычислить определитель матрицы

A= ,

разложив его по элементам первой строки и по элементам первого столбца (результат вычислений должен быть одинаков).

8. Системы линейных уравнений. Что называется решением системы? Какая система называется совместной, какая – несовместной?

9. Что называется рангом матрицы? Как его можно найти?

10. Сформулируйте теорему Кронекера-Капелли.

11. При каком условии система линейных уравнений имеет единственное решение, множество решений?

12. Напишите формулы Крамера. Применимы ли эти формулы для прямоугольных систем линейных уравнений?

13. Решите методом Крамера систему линейных уравнений:

14. При каком условии однородная система n линейных уравнений с n неизвестными имеет ненулевое решение?

15. Опишите метод Гаусса решения и исследования систем линейных уравнений. Решите методом Гаусса системы:

а) б)

16. Какая матрица называется обратной для данной матрицы, всегда ли она существует? Найти обратные матрицы для матриц A и B (сделать проверку):

A= , B= .

17. В чем состоит матричный метод решения систем линейных уравнений? Решите матричным способом системы:

а) б)

9.2. Векторная алгебра

1. Что называется вектором и модулем вектора. Найти модуль вектора .

2. Какие операции над векторами называются линейными, каковы свойства этих операций?

Найдите , , если ., .

3. Какие векторы называются коллинеарными, компланарными, равными?

4. Что называется скалярным произведением двух векторов? Каковы его свойства? Как оно выражается через координаты векторов сомножителей? Каково условие перпендикулярности двух векторов?

Для векторов , , найдите:

1) ;

2) ;

3) ;

4) перпендикулярны ли векторы и , и .

5. Найдите угол между векторами и .

6. Что называется векторным произведением двух векторов? Каковы его свойства, геометрический смысл? Сформулируйте условие коллинеарности двух векторов.

7. Найдите и , если , .

8. Что называется смешанным произведением трех векторов? Каковы его свойства, геометрический смысл? Как оно выражается через координаты векторов-сомножителей? Когда три вектора компланарны?

9. Найдите смешанное произведение векторов , , . Компланарны ли они? Чему равен объем параллелепипеда, построенного на этих векторах?