Тема 2. Методы и модели оптимального планирования хозяйственной деятельности

Вопросы:

Задачи оптимизации, решаемые методами линейного программирования.

Оптимальное использование ресурсов.

Оптимальное планирование производства

Формирование рациональных смесей.

Оптимальная загрузка оборудования

Оптимизационные модели – это класс моделей, в класс которых ставится цель оптимизировать какой-то параметр, т.е. сделать максимальным или минимальным. Например, максимизация прибыли, минимизирование затрат.

Основные этапы построения экономической модели оптимизационного типа.

I этап: определение цели моделирования, т.е. что мы хотим получить, используя модель. Цель – получение максимальной прибыли предприятия.

II этап: определение параметров модели, т.е. факторов, на которые мы повлиять не можем (константа, числовые коэффициенты). Например, норма расхода на изготовление товара.

III этап: формирование управляющих переменных (выбор переменных) в модели. Например, какое количество продукции нужно выпустить, чтобы прибыль была максимальной. Количество переменных – это управляемая переменная.

IV этап: определение области допустимых решений – это те ограничения, которые должны удовлетворять наши переменные. Ограничения по ресурсам, по сырью, количеству рабочего времени и т.д.

V этап: выявление неизвестных факторов, которые могут измениться случайным образом.

VI этап: цель, которую мы ставим, выражают через упр-е переменные и записывают в виде целевой функции.

Целевая функция – это функция, для которой мы будем искать максимальные или минимальные значения.

Экономико-математические модели моделирования оптимизации состоят из трех основных компонентов:

1. целевая функция, которая записывает условие либо максимизации, либо минимизации;

2. система ограничении, предполагающий собой систему неравенств или уравнений;

3. условие неотрицательности управляющих переменных.

Основные типы задач оптимизации. Примеры типичных задач.

1 тип: модель (задача) планирования (оптимизации) производства.

а) цель – максимизация прибыли.

б) параметры модели – известные числовые значения:

n – число видов изделий;

m – число типов ресурсов;

b_i – запас ресурсов i-го типа;

a_ij – количество ресурса i-го типа, необходимое для изготовления изделия j-го вида;

p_j – прибыль от реализации каждого j-го вида изделия.

в) управляющая переменная, в данном случае х₁, х₂, х₃, …

г) ограничения задачи – ограничения по ресурсам и условие неотрицательности переменных.

В общем виде модель оптимизации производства записывается:

Р = ∑ р_j х_j → max

В расчете этой модели определяют оптимальный план производства, т.е. какое количество каждого вида надо изготовить, чтобы при этом была максимальная прибыль.

2 тип: задача на минимизацию.

Формирование минимальной потребительской корзины. Например, задача о смесях, оптимальном рационе животных.

Суть задачи. Задан ассортимент продуктов, каждый продукт содержит определенное количество разных питательных веществ (витамины, жиры, минералы, калории). Известен требуемый человеку минимальный набор питательных веществ. Необходимо определить требуемую потребительскую корзину, т.е. количество каждого вида продуктов, чтобы она удовлетворяла условие питательной ценности, имела минимальную стоимость.

Составление математической модели:

а) цель – минимизация стоимости потребительской корзины.

б) параметры:

n – число различных видов продуктов;

m – число различных питательных веществ;

b_i – количество i–го питательного вещества необходимое человеку;

a_ij – содержание i–го питательного вещества в j–ом продукте;

c_j – стоимость каждого j–го продукта.

в) управляющие переменные – количество каждого j–го продукта, входящего в потребительскую корзину.

г) система ограничений, определяется системой неравенств, которые представляют собой условие необходимого уровня потребления каждого питательного вещества.

д) целевая функция. Его критерий оптимальности будет минимальным, необходимо минимизировать стоимость потребительской корзины.

С = ∑ с_j х_j → min

Требуется подобрать такое количество продуктов, чтобы и условие питательной ценности были соблюдены, и стоимость была минимальной.

3 тип: Расчет оптимальной загрузки оборудования.

Предприятию необходимо выполнить производственный заказ на имеющемся оборудовании. Для каждого оборудования заданы:

- фонд рабочего времени;

- себестоимость изготовления единицы продукции каждого вида;

- производительность.

Требуется распределить изготовление продукции между оборудованием таким образом, чтобы себестоимость всей продукции была минимальной.

Составление математической модели:

а) цель – минимизация себестоимости процесса производства;

б) параметры:

n – число единицы оборудования;

m – число видов продукции в производственном запасе (номенклатура);

b_i – количество единиц продукции i-го вида, которого необходимо произвести;

Т_j – фонд рабочего времени оборудовния j-го вида;

a_ij – производительность оборудования j-го типа по производству изделий i-го вида;

c_ij – себестоимость изготовления единицы продукции i-го вида на станке j-го типа.

в) управляющие переменные х_ij – время в течение которого оборудовании е j-го типа занята изготовлением продукции i-го вида.

г) суть: необходимо наиболее рационально распределить время выполнения заказов между станками, чтобы себестоимость выполнения этого заказа была минимальной.

д) система ограничений – ограничение по фонду времени станков.

е) целевая функция:

С = ∑ ∑ с_ij а_ij х_ij → min

4 тип: Составление оптимального плана реализации товаров.

Суть: Фирма реализует различные товары, используя при этом определенный набор средств, т.е. ресурсов (людских, технических, денежные ресурсы, информационные).

Заданы:

- общий запас этих средств;

- число средств, используемых при реализации единицы любого товара;

- прибыль от продажи.

Надо сформировать такой план реализации товаров, который даст фирме максимальную прибыль.

а) цель – максимизации прибыли.

б) параметры:

n – число различных видов реализуемых товаров;

m – число различных видов средств продажи;

b_i – запас средств каждого вида;

a_ij – число средств i-го вида, используемых для реализации единицы товара j-го вида;

р_j – прибыль от реализации единицы товара.

в) управляющие переменные х_j – количество реализуемого товара каждого вида.

г) система ограничений – это ограничения по запасам средств, необходимых при продаже и условие неотрицательности переменных.

д) критерий оптимальности целевой функции:

Р = ∑ р_j х_j → max

В результате расчета математической модели определяется количество реализуемых товаров определенного вида, обеспечивающих фирме максимальную прибыль.