8. Одноканальная система массового обслуживания с неограниченной очередью

Примером одноканальной системы массового обслуживания с неограниченной очередью является телефон-автомат с одной будкой.

Пусть поток заявок, поступающих в одноканальную систему массового обслуживания с неограниченной очередью, имеет интенсивность λ, а поток обслуживания — интенсивность μ. Граф состояний такой системы представлен на рис.7.

Рис. 7

Здесь введены обозначения:

состояние S₀ — канал свободен;

состояние 5, — канал занят, очереди нет;

состояние S₂ — канал занят, одна заявка стоит в очереди;

состояние S_k — канал занят, k-1 заявок стоит в очереди и т.д.

Таким образом, на рис. 17.7 представлен процесс гибели и размножения для бесконечного числа состояний.

Теорема. Если , т.е. в единицу времени среднее число пришедших заявок меньше среднего числа обслуженных заявок, то предельные вероятности существуют, если же , то очередь растет до бесконечности.

Предельные вероятности состояний СМО, представленной на графе рис.7, определяются соотношениями

В скобках стоит сумма бесконечной геометрической прогрессии со знаменателем р . Если р < 1, то сумма

Таким образом, предельная вероятность состояния S₀ СМО определяется соотношением

(1.21)

Предельную вероятность состояния любого состояния S_k СМО вычисляют по формуле

(1.22)

Так как р<1, то, как следует из (1.22), вероятность р₀ наибольшая.

Среднее число заявок в системе L_сист определяется по формуле взвешенного арифметического среднего:

Индекс при состояниях системы S₀, S₁,..., S_k, ..., S_n показы­вает число заявок, находящихся в СМО. Например, состояние S_k означает, что из п каналов занято к. Индекс при состояниях сис­темы показывает, что заняты все п каналов и г заявок стоит в очереди. Интенсивность потока обслуживания, переводящая сис­тему из одного состояния в другое справа налево, не остается по­стоянной, а по мере увеличения числа обслуживаемых заявок уве­личивается пропорционально этому числу. При числе заявок боль­ше п, интенсивность потока обслуживания равна . Если р < п , то предельные вероятности существуют, если же р > п , то очередь рас­тет до бесконечности.

Вероятность того, что заявка окажется в очереди,

Предельные вероятности состояний СМО, представленной в графе рис. 8, определяются соотношениями:

Среднее число занятых каналов k = p

Среднее число заявок в очереди

(1.33)

Среднее число заявок в системе

(1.34)

Среднее время пребывания заявки в системе и в очереди определяется по формулам Литтла:

(1.35)

(1.36)

Пример 1.8 [14]. В универсаме к кассам для расчета за покупки поступает поток покупателей с интенсивностью 81 человек в час. Ин­тенсивность обслуживания одного покупателя составляет 30 человек в час. Определить минимальное количество кассиров, при котором оче­редь не будет расти до бесконечности, а также характеристики обслу­живания и вероятность того, что в очереди будет не более трех покупа­телей.

Решение. Так как , то по условию р < п очередь не будет возрастать до бесконечности при количестве кассиров п = 3.

Вероятность того, что у касс отсутствуют покупатели, определяется по формуле (17.28)

Вероятность того, что у касс обслуживаются один, два или три покупателя, находим по формулам (1.29):

Вероятность того, что в очереди стоят один, два или три покупате­ля, находим по формулам

Вероятность того, что в очереди будет не более трех покупателей,

Вероятность того, что заявка окажется в очереди, определяется по формуле (1.31):

Среднее число занятых касс

k = р = 2,7.

Среднее число покупателей в очереди

Среднее число покупателей, обслуживаемых кассирами и стоящих в

очереди,

Среднее время пребывания заявки в очереди

= 0,09111 чел./ч, или 5,47 чел./мин. Среднее время пребывания заявки в системе

= 0,124 чел./ч, или 7,47 чел./мин. При наличии трех кассиров узел расчета покупателей перегружен. ►

► Пример 1.9 [14]. Железнодорожная касса с двумя окошками продает билеты в два пункта А и В. Интенсивность потока пассажиров, желающих купить билеты, для обоих случаев равна 0,45 пассажиров в минуту. Рассмотреть два варианта продажи билетов.

1-й вариант. Билеты продаются до пунктов А и В одновремен­но в любом из двух окошек кассы.

2-й вариант. Билеты до пункта А продаются в одном окошке, а билеты до пункта В — в другом окошке кассы.

Сравнить два варианта продажи билетов по основным характери­стикам обслуживания для двух случаев.

Случай 1. На обслуживание пассажиров кассиры тратят в сред­нем 2 минуты по первому и второму вариантам.

Случай 2. На обслуживание одного пассажира по первому ва­рианту тратится в среднем 2 минуты, а по второму — 1,6 минуты. Уменьшение времени обслуживания связано с упрощением операции.

Решение. Вариант 1 случай 1 и вариант 2 случай 2 имеют одни и те же параметры, а именно: билеты продаются до пунктов А и В одновременно в любом из двух окошек кассы, на обслуживание пассажира кассиры тратят в среднем 2 минуты. В этом случае система массового обслуживания является двухканальной, на которую посту­пает поток заявок интенсивностью X = 0,45 + 0,45 = 0,9 заявок в минуту.

Интенсивность нагрузки канала

Так как р<1 , то предельные вероятности существуют.

Среднее число пассажиров в очереди найдем по формуле (1.33):

Вероятность простоя двух кассиров определяем но формуле

Среднее время на ожидание в очереди

Среднее число пассажиров в очереди и у кассы

Среднее время: на ожидание в очереди и покупку билетов

2Х. Вариант 2 случай X, а именно: билеты до пункта А продаются в одном окошке, а билеты до пункта В — в другом окошке кассы, на об­служивание пассажира кассиры тратя/г в среднем 2 минуты. В этом слу­чае система массового обслуживания является одноканальной, на кото­рую поступает лоток заявок интенсивностью =0,45 заявок в минуту.

Интенсивность потока обслуживания обслуживании в

р< I , то предельные вероятности существуют.

Вероятность того, что кассир в окошке свободен, определяется со­отношением (1.21):

Среднее число пассажиров в очереди найдем по формуле (1.25):

Среднее время на ожидание в очереди определим по (1.27): Среднее число пассажиров в очереди и у окошка кассы

Среднее время на ожидание в очереди и покупку билетов

Таким образом, во втором варианте увеличилась длина очереди и среднее время ожидания в ней. Это связано с тем, что при продаже обоими кассирами билетов до двух пунктов назначения каждый из них меньше простаивает. Каждый кассир, не занятый обслуживанием пас­сажиров до пункта А, может быть занят обслуживанием пассажиров до пункта В.

Вариант 2 случай Y, а именно: билеты до пункта А продаются в одном окошке, а билеты до пункта В — в другом окошке кассы, на об­служивание пассажира кассиры тратят в среднем 1,6 минуты. Система массового обслуживания является одноканальной, на которую поступа­ет поток заявок интенсивностью =0,45 заявок в минуту. Интенсив­ность потока обслуживания = 0,625 обслуживании в минуту. Интенсивность нагрузки канала

Так как р<1, то предельные вероятности существуют.

Вероятность того, что кассир в окошке свободен,

Среднее число пассажиров в очереди

Среднее число пассажиров в очереди и у окошка кассы

Среднее время на ожидание в очереди и покупку билетов

Из сравнения всех рассмотренных вариантов и случаев следует, что уменьшение среднего времени обслуживания пассажира с 2 до 1,6 ми­нуты существенно улучшило характеристики работы кассы. ►