4. Модель оптимального размера заказа с дефицитом.

Предположим, что :

1. темп спроса на товар известен и постоянен;

2. время выполнения заказа известно и постоянно;

3. закупочная цена не зависит от размера заказа.

Исходные данные: темп спроса, издержки заказа, издержки хранения, издержки дефицита.

Результат: оптимальный размер заказа, время между заказами, точка восстановления запаса, совокупные издержки.

Размер заказа является постоянным. Уровень запасов убывает с постоянной интенсивностью. Допускается дефицит продукта. После получения заказа фирма компенсирует дефицит и восстанавливает запас продукта на складе. Заказ делается тогда, когда дефицит продукта на складе достигает оптимального размера. Оптимальным решением задачи будет такой размер заказа Q^*, при котором минимизируются общие издержки за период, равные сумме издержек хранения, издержек заказа и издержек дефицита.

Пусть Q – размер заказа;

T – продолжительность периода планирования;

D,d – величина спроса за период планирования и в единицу времени соответственно;

K – издержки одного заказа;

H,h- удельные издержки хранения за период и в единицу времени соответственно;

B,b – упущенная прибыль, возникающая вследствие дефицита одной единицы продукта, за период и в единицу времени соответственно;

S – максимальный запас продукции;

L – время выполнения заказа.

Тогда:

D/Q *K - издержки заказа за период планирования;

S²/2Q*H – издержки хранения за период планирования;

(Q-S)² /2Q *B – издержки дефицита за период планирования;

C = D/Q* K + S²/2Q*H +(Q-S)² /2Q *B – совокупные издержки;

Q^* = √2d*K /h*√b+h/b = √2DK/H*√B+H/B – оптимальный размер заказа;

S^* = √2d*K/h*√b/b+h = √2DK/H*√B/B+H – оптимальный максимальный размер заказа;

Q^* - S^* - оптимальный максимальный дефицит;

R = d*L – точка восстановления запаса.

5. Модель оптимального размера с количественными скидками.

Предположим, что:

1. темп спроса на товар известен и постоянен;

2. время выполнения заказа известно и постоянно.

Исходные данные: темп спроса, издержки заказа, издержки хранения, цена товара, количественные скидки в случае закупки крупных партий товара.

Результат: оптимальный размер заказа, время между заказами, точка восстановления запаса, количество заказов за фиксированный период времени, совокупные издержки.

Пусть: Q – размер заказа;

T - продолжительность периода планирования;

D,d – величина спроса за период планирования и в единицу времени соответственно;

K – издержки одного заказа;

H,h – удельные издержки хранения за период и в единицу времени соответственно.

Предположим, что известны числа c_i, a_i, i = 1, …, n, где c_i – цена продукта при размере заказа Q в интервале a_i-1 ≤ Q < a_i. Будем считать, что а₀ = 0 и а_n = +∞.

Тогда:

D/Q* K – издержки заказа за период планирования;

Q/2* H – издержки хранения за период планирования;

c_i D - издержки на закупку товара.

Оптимальный размер заказа определяется в результате решения n задач. Каждая из этих задач сводится к определению такого размера заказа Q_i, i = 1, …, n, при котором функция совокупных (общих) издержек

C_i = D/Q* K + Q/2* H+ c_iD

достигает минимума при ограничениях a_i-1 ≤ Q_i < a_i.

Решение исходной задачи определяется из условия.

Q^* = arg min min {C_i (Q_i)}.

_{i Qi}

На рис.6 изображены функции совокупных издержек для трех значений цен продукта. Значение цены с₁ определено на интервале 0 ≤ Q < a_1, цены с₂ на интервале а₁ ≤ Q < a₂ , цены с₃ – на интервале а₂ ≤ Q < +∞.

Соответственно, функция общих издержек С₁ (Q) определена при значении цены с₁ на интервале 0 ≤ Q < a₁, функция С₂ (Q) – при значении цены с₂ на интервале а₁ ≤ Q < a₂, функция С₃ (Q) – при значении цены с₃ на интервале а₂ ≤ Q₁ < +∞.

Минимальное значение функции С₁ (Q) в области ее допустимых значений достигается в точке Q₁, функции С₂ (Q) – в точке а₁, функции С₃ (Q) в точке а₂.

Оптимальный размер заказа следует выбирать из величин Q₁, а₁ и а₂ по формуле

Q^* = arg min { C₁ (Q), C₂ (а₁), C₃ (а₂)}.