1.7. Система массового обслуживания с отказами

Граф состояний системы массового обслуживания с отказами представлен на рис. 1.5.

Поступающая заявка последовательно переводит систему из любого левого состояния в соседнее правое с интенсивностью X. Интенсивность потока обслуживания прямо пропорциональна ко­личеству заявок, находящихся на обслуживании. Для состояния S_k, когда в системе на обслуживании находится к заявок, интен­сивность обслуживания равна kμ, где μ— интенсивность обслу­живания одной заявки. Формулы для предельных вероятностей состояний системы следуют из (1.7) при подстановке туда дан­ных графа состояний системы массового обслуживания с отказами:

(1.8)

Предельной интенсивностью потока заявок, или интенсивностью нагрузки канала, называется отношение (1.9):

Подставив (1.9) в (1.8), получим:

(1.10)

Соотношения (1.10) называются формулами Эрланга.

Вероятность отказа является предельной вероятностью того, что все п каналов СМО заняты:

(1.11)

Относительная пропускная способность, т.е. вероятность того, что заявка будет обслужена, определяется соотношением

(1.12)

Абсолютная пропускная способность СМО, т.е. среднее число заявок, обслуживаемых в единицу времени,

(1.13)

Среднее число занятых каналов является интенсивностью потока обслуженных СМО заявок в единицу времени:

(1.14)

Простейшим случаем СМО с отказами является одноканальная система.

Для одноканальной СМО с отказами предельные вероятности могут быть определены из (1.10)

Вероятность отказа является предельной вероятностью того, что канал СМО занят:

Относительная пропускная способность (1.17)

Абсолютная пропускная способность СМО, т.е. среднее число заявок, обслуживаемых в единицу времени,

(1.18)

Среднее число занятых каналов, являющееся интенсивностью потока обслуженных СМО заявок в единицу времени,

(1.19)

По величине среднее число занятых каналов совпадает с веро­ятностью отказа.

Среднее время обслуживания одной заявки обратно пропорцио­нально интенсивности обслуживания.

► Пример 1.4 [14]. В офисе установлен один телефонный аппарат. Интенсивность заявок на телефонные переговоры с сотрудниками офи­са равна 90 заявок в час. Средняя продолжительность разговора по те­лефону равна двум минутам. Определить показатели эффективности работы средства связи.

Решение. В принятых обозначениях условия примера можно за­писать в виде: Тогда интенсивность потока обслуживания

Вероятность отказа в обслуживании находим по формуле (1.16):

Относительная пропускная способность

Среднее число заявок, обслуживаемых в течение часа,

Таким образом, при наличии одного телефона офис будет плохо справляться с потоком заявок. ►

► Пример 17.5 [14]. Для условий примера 17.4 определить число те­лефонов (телефонных номеров) в офисе, для которого относительная пропускная способность СМО будет не менее 0,9.

Решение. По формуле (1.9) найдем интенсивность нагрузки канала: p = 3, т.е. в среднем за время одного разговора, равного 2 минутам, поступит 3 заявки на разговор.

Определим зависимость относительной пропускной способности СМО от числа телефонных аппаратов. Расчет проводится по формулам (17.10) и (17.12). Например, для и = 4 имеем:

Результаты расчета сведены в табл. 1.1.

			Таблица 1.1
п	1	2	3	4	5	6
Р0	0,25	0,117647	0,0769231	0,0610687	0,0543478	0,0515132
Q	0,75	0,4706	0,6538	0,7939	0,8899	0,948

Условие задачи Q > 0,9 удовлетворяется для шести телефонных аппара­тов. При этом относительная пропускная способность СМО равна Q = 0,948 . В час будет обслуживаться в среднем заявок.

Среднее число занятых телефонов

Вероятность отказа находим по формуле (17.11):

► Пример 17.6 [14]. В ателье по ремонту автомобилей с тремя рабо­чими местами поступают заказы от населения. Если заняты все три рабо­чие места, то вновь поступивший заказ не принимается. Среднее время работы с одним заказом равно 3 ч. Интенсивность потока заявок — 0,25 ед./ч. Найти предельные вероятности состояний и показатели эффективности работы ателье.

Решение. В принятых обозначениях условия примера можно записать в виде =0,25 ед./ч, 7_обс =3 ч. Тогда интенсивность потока

обслуживания . Интенсивность нагрузки канала

т.е. в среднем за время ремонта одного автомобиля, равного 3 часам, поступит 0,75 новых заявок.

Предельные вероятности состояний СМО определяются по форму­лам (17.10):

Таким образом, в стационарном режиме 47,6% времени ателье не работает из-за отсутствия заявок, 35,7% времени занято только одно рабочее место (одна заявка), 13,4% времени занято два рабочих места (две заявки), 3,3% времени занято три рабочих места (три заявки). Ве­роятность отказа в ремонте Р_тк = _Ръ = 0,033 .

Относительная пропускная способность

Абсолютная пропускная способность СМО, т.е. среднее число зая­вок, обслуживаемых в единицу времени,

Среднее число занятых каналов