- •Казанский кооперативный институт (филиал)
- •Экономико-математические методы и модели лекционный материал
- •Введение
- •Тема 1. Математическое моделирование и анализ экономических процессов. Основные представления о математических моделях.
- •Тема 2. Методы и модели оптимального планирования хозяйственной деятельности
- •Тема 3. Оптимальное планирование перевозок товаров. (Транспортная задача, транспортный метод).
- •Формулировка транспортной задачи.
- •Математическая модель транспортной задачи.
- •Необходимое и достаточное условия разрешимости транспортной задачи.
- •Свойство системы ограничений транспортной задачи.
- •Опорное решение транспортной задачи.
- •Метод вычеркивания
- •Методы построения начального опорного решения. Метод северо-западного угла.
- •Метод минимальной стоимости.
- •Переход от одного опорного решения к другому.
- •Означенный цикл.
- •Распределительный метод.
- •Метод потенциалов.
- •Особенности решения транспортных задач с неправильным балансом.
- •Алгоритм решения транспортной задачи методом потенциалов.
- •Транспортная задача по критерию времени.
- •Тема 4. Принятие решений
- •Методы принятия решений
- •Матрица выйгрышей
- •Матрица Рисков
- •2. Принятие решений в условиях частичной неопределенности (в условиях коммерческого риска)
- •Тема 5. Модель системы массового обслуживания
- •Системы массового обслуживания
- •Основные понятия теории массового обслуживания
- •1.7. Система массового обслуживания с отказами
- •8. Одноканальная система массового обслуживания с неограниченной очередью
- •1.10. Система массового обслуживания с ограниченной очередью
- •1.10.1. Одноканальная смо с ограниченной очередью
- •1.10.2 Многоканальная смо с ограниченной очередью
- •Тема 6. Основные понятия и задачи метода сетевого планирования и управления
- •Основные понятия и задачи.
- •Проект реконструкции торгового центра
- •Тема 7. Экономико-математические методы и модели изучения и прогнозирования спроса.
- •1) Исследователь вносит гипотезу о структуре ящика
- •2) Определение неизвестных коэффициентов a0 и a1 модели
- •3) Проверка
- •Линейная множественная модель
- •Тема 8. Модели управления запасами
- •Модели управления запасами.
- •I. Детерминированные модели управления запасами.
- •1.Простейшая модель оптимального размера заказа.
- •2. Модель оптимального размера заказа с фиксированным временем его выполнения.
- •4. Модель оптимального размера заказа с дефицитом.
- •5. Модель оптимального размера с количественными скидками.
- •II. Стохастическая модель
- •6. Дискретная стохастическая модель оптимизации начального запаса.
- •Примеры
- •Тема 8. Балансовая модель. Балансовый метод.
- •Решение балансовых уравнений с помощью обратной матрицы. Коэффициенты полных затрат.
- •Полные внутрипроизводственные затраты.
- •Полные затраты труда капиталовложений
- •Экономико-математические методы и модели лекционный материал
- •420045 Республика Татарстан, г. Казань,
3) Проверка
Чтобы определить, принимается гипотеза или нет, нужно, во-первых, рассчитать ошибку между точками заданной экспериментальной и полученной теоретической зависимости и суммарную ошибку:
Ei = (YiЭксп. – YiТеор.), i = 1, …, n
И, во-вторых, необходимо найти значение σ по формуле , где F — суммарная ошибка, n — общее число экспериментальных точек.
Если в полосу, ограниченную линиями YТеор. – S и YТеор. + S (рис. 2.5), попадает 68.26% и более экспериментальных точек YiЭксп., то выдвинутая нами гипотеза принимается. В противном случае выбирают более сложную гипотезу или проверяют исходные данные. Если требуется большая уверенность в результате, то используют дополнительное условие: в полосу, ограниченную линиями YТеор. – 2S и YТеор. + 2S, должны попасть 95.44% и более экспериментальных точек YiЭксп..
|
|
Рис. 2.5. Исследование допустимости принятия гипотезы |
Расстояние S связано с σ следующим соотношением:
S = σ/sin(β) = σ/sin(90° – arctg(A1)) = σ/cos(arctg(A1)),
что проиллюстрировано на рис. 2.6.
|
|
Рис. 2.6. Связь значений σ и S |
Условие принятия гипотезы выведено из нормального закона распределения случайных ошибок (см. рис. 2.7). P — вероятность распределения нормальной ошибки.
|
|
Рис. 2.7. Иллюстрация закона нормального распределения ошибок |
Наконец, приведем на рис. 2.8 графическую схему реализации одномерной линейной регрессионной модели.
|
|
Рис. 2.8. Схема реализации метода наименьших квадратов в среде моделирования |
Линейная множественная модель
Предположим, что функциональная структура ящика снова имеет линейную зависимость, но количество входных сигналов, действующих одновременно на объект, равно m (см. рис. 2.9):
Y = A0 + A1 · X1 + … + Am · Xm.
|
|
Рис. 2.9. Обозначение многомерного черного ящика на схемах |
Так как подразумевается, что мы имеем экспериментальные данные о всех входах и выходах черного ящика, то можно вычислить ошибку между экспериментальным (YiЭксп.) и теоретическим (YiТеор.) значением Y для каждой i-ой точки (пусть, как и прежде, число экспериментальных точек равно n):
Ei = (YiЭксп. – YiТеор.), i = 1, …, n;
Ei = Yi – A0 – A1 · X1i – … – Am · Xmi, i = 1, …, n.
Минимизируем суммарную ошибку F:
Ошибка F зависит от выбора параметров A0, A1, …, Am. Для нахождения экстремума приравняем все частные производные F по неизвестным A0, A1, …, Am к нулю:
Получим систему из m + 1 уравнения с m + 1 неизвестными, которую следует решить, чтобы определить коэффициенты линейной множественной модели A0, A1, …, Am. Для нахождения коэффициентов методом Крамера представим систему в матричном виде:
Вычисляем коэффициенты A0, A1, …, Am.
Далее, по аналогии с одномерной моделью, для каждой точки вычисляется ошибка Ei; затем находится суммарная ошибка F и значения σ и S с целью определить, принимается ли выдвинутая гипотеза о линейности многомерного черного ящика или нет.
При помощи подстановок и переобозначений к линейной множественной модели приводятся многие нелинейные модели.