Матрица выйгрышей

П рирода Стратегия	П1	П2	П3
А1	15	11	7
А2	12	16	10
А3	9	14	13
А4	8	15	18

Конкретизируем пример.

Предположим, что принимается решение о том какое из 4-х с/х культур целесообразнее всего вырастить в следующий год на арендованном участке земли. Ожидаемый выигрыш – это величина урожайности или дохода, прибыли с гектара. Выигрыши зависят не только от выбранной культуры, но и от состояния природы – погоды в предстоящем году.

Стратегии природы (т.е. погоды) у нас три:

П1 – сезон с максимумом солнечных дней и минимумом осадков.

П3 – Минимум солнца и максимум дождей.

П2 – промежуточная стратегия между П1 и П3, средние уровни жары и влаги.

Наши культуры на погодные условия реагируют по разному:

Культура А1 предпочитает больше тепла, меньше влаги (наибольший выигрыш она дает при состоянии природы П1).

Культуры А2 и А3 дают набольший выигрыш при средних погодных условиях (П2).

Культура А4 предпочитает максимум влаги (П4).

Выбор культуры для посева делают заранее когда прогноз погоды неизвестен. Таким образом даже приблизительные вероятности состояний природы П1, П2, П3 неизвестны.

Это и есть условие полной неопределенности.

Как в этих условиях найти решение?

Для таких задач существует теория статистических решений.

Ее основные подходы к решению следующие: Наряду с выигрышами будем пользоваться еще рисками (величинами риска).

Риск – это разница между максимально возможным выигрышем β_j при данном состоянии природы П_j и выигрышем а_ij при данной стратегии А_i.

Определим риск исходя из следующих соображений: Если мы выбрали первую культуру, т.е. А1, а погода окажется в состоянии П1, то мы имеем максимальный выигрыш 15. Риск при этом равен 0. Если погода в состоянии П3, то выигрыш 7, а мог бы быть 18, если бы посадили А4. Т.е. риск 18-7=11.

Г_ij = β_ij-а_ij

Матрица Рисков

П рирода Стратегия	П1	П2	П3
А1	0	16-11=5	11
А2	3	0	8
А3	6	2	5
А4	7	1	0

В каждом столбце вычтем размеры выигрышей из максимального в данном столбце выигрыша. Таким образом получим размеры рисков.

В теории статических решений существует несколько критериев для выбора лучшего решения в задаче.

Абсолютно лучшего решения в задаче с полной неопределенностью установить нельзя. Находят несколько как бы лучших решений, а одно единственное из них пусть выбирает исполнитель с помощью здравого смысла.

Рассмотрим несколько критериев, каждый из которых дает лучшее решение.

1. Критерий максимального выигрыша (крайнего оптимизма).

Это самый простой подход.

Смотрим таблицу выигрышей, из всех цифр выбираем наибольшую, соответствующая ей стратегия и будет наилучшей.

Максимальная цифра выигрышей 18, т.е. это стратегия А4.

2. Критерий максимального среднего выигрыша (Критерий Лапласа)

Он учитывает все природные ситуации. Находим средние выигрыши для стратегий. Средний выигрыш составляет:

для стратегии А1 – (15+11+7)/3=11,

для стратегии А2 – (12+16+10)/3=12,7,

для стратегии А3 – (9+14+13)/3=12,

для стратегии А3 – (8+15+18)/3=13,7.

Наибольший средний выигрыш приходится на А4. Эту стратегию и надо выбирать.

3. Максимальный критерий Вальда. Критерий крайнего пессимизма. (Критерий максимина).

По каждой стратегии, т.е. строке выигрышей находим наименьший, минимальный выигрыш. Это будут величины А1 – 7, А2 – 10, А3 – 9, А4 – 8. Из них находим максимальную величину. Она определит лучшую стратегию.

Критерий Вальда это критерий крайнего пессимизма. Мы выбираем лучшее из худших.

4. Критерий минимаксного риска. Критерий пессимизма (Критерий Сэвиджа).

Рассмотрим таблицу рисков.

По каждой стратегии (т.е. по каждой строке) находим максимальный риск. Это будут величины А1 – 11, А2 – 8, А3 – 6, А4 – 7.

Среди максимальных рисков находят минимальную величину, это 6. Ей соответствует оптимальная стратегия А3.

Критерий Сэвиджа стремится избежать большого риска. Это тоже пессимистический критерий, как и предыдущий.

5. Критерий компромисса по Гурвицу. (Критерий оптимизма-пессимизма)

Этот критерий рекомендует некоторый компромисс между выбором решений на основе крайнего оптимизма и крайнего пессимизма. При крайнем оптимизме (критерий 1) мы выбираем максимальные по каждой строке выигрыши, при пессимизме – минимальные выигрыши. Теперь включим в расчет и те и другие. Для компромисса максимальные и минимальные выигрышибудем взвешивать с помощью коэффициента α, произвольного коэффициента, выбираемого между нулем и единицей. Например, для α=0,5; 0,8; 0,4.

Расчеты по критерию Гурвица.

Стратегия	Макси-мальный выигрыш	Мини-мальный выигрыш	Компромис при
			α=0,5	α=0,8	α=0,4
А1	15	7	11,0	13,4	10,2
А2	16	10	13,0	14,8	12,4
А3	14	9	11,5	13,0	11,0
А4	18	8	13,0	16,0	12,0

Поясним расчет по критерию Гурвица для стратегии А1.

По сути α – вероятность максимального выигрыша. Коэффициент α называется степенью оптимизма.

Для α=0,5 имеем компромисс 0,5*15+0,5*7=11,0

Для α=0,8 имеем 0,8*15+0,2*7=13,4

Для α=0,4 имеем 0,4*15+0,6*7=10,2

И таким образом для других стратегий.

Для каждого значения α имеется 4 числа из которых наибольшее подчеркнуть.

Следовательно при α=0,5 лучше 2 стратегии А2 и А4,

при α=0,8 лучше А4

при α=0,4 лучше А2.

Величина коэффициента выбирается субъективно. Чем ближе α к единице, тем сильнее на принятие решений влияет максимальные значения выигрыша.

При α=1, критерий Гурвица становится критерием 1 – крайнего оптимизма. Если имеется склонность к осторожности, то коэффициент α должен приближаться к нулю, усиливается ориентация на минимальные выигрыши. В данном случае самый осторожный коэффициент α=0,4. Он рекомендует стратегию А4.

По всем критериям результаты получились такие:

Критерий	1	2	3	4	5
Лучшее решение	А4	А4	А2	А3	А2 и А4

Окончательное принятие решения о выборе стратегии остается за лицом, принимающим решение.

При анализе «игр с природой» разумнее придерживаться некоторой промежуточной позиции, граница которой регулируется степенью оптимизма α в критерии Гурвица.

Полная неопределенность. Критерий Гурвица

Пример. В северном округе Москвы планируется строительство овощехранилища. Имеются три возможных проекта создания такого хранилища площадью S1 = 200кв.м, S2 = 300кв.м и S3 = 400кв.м. В зависимости от эффективности использования выделенных площадей рассчитаны варианты ежегодного дохода b_ij ((тыс.руб.), кот. Представлены в виде таблицы.