- •Введение
- •1. Организационно-методический раздел
- •1.1. Цели и задачи дисциплины
- •1.2. Место дисциплины в структуре основной образовательной программы (ооп)
- •1.3. Требования к результатам освоения дисциплины
- •1.4. Объем дисциплины и виды учебной работы
- •2. Содержание дисциплины
- •2.1. Содержание разделов дисциплины
- •Раздел 1. Введение в анализ: множества, функции
- •Раздел 2. Предел и непрерывность функции
- •Раздел 3. Дифференциальное исчисление функций одной переменной
- •Раздел 4. Дифференциальное исчисление функции нескольких переменных
- •Раздел 5. Интегральное исчисление функций одной переменной
- •Раздел 6. Числовые и степенные ряды
- •Раздел 7. Обыкновенные дифференциальные уравнения
- •2.2. Разделы (темы) дисциплины и междисциплинарные связис обеспечиваемыми (последующими) дисциплинами
- •2.3. Разделы дисциплины и виды занятий
- •2.4. Основные виды занятий и особенности их проведения при изучении дисциплины
- •2.3.1. Лекционные занятия
- •2.3.2. Практические занятия
- •Содержание практических занятий
- •2.5. Самостоятельная работа
- •3. Учебно-методическое и информационное обеспечение дисциплины Рекомендуемая литература (основная)
- •Рекомендуемая литература (дополнительная)
- •5.1.3. Система текущего и итогового контроля знаний студентов
- •Технологическая карта
- •5.2. Контрольные работы
- •Тематика контрольных работ
- •5.3. Перечень контрольных вопросов к экзамену
- •I. Введение в анализ: множества, функция. Предел и непрерывность функции одной переменной
- •II. Дифференциальное исчисление функции одной переменной.
- •III.Исследование функций с помощью производной
- •IV.Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных
- •V. Неопределённый интеграл
- •VI.Определённый интеграл
- •VII.Числовые ряды.
- •VIII.Функциональные ряды.
- •IX.Дифференциальные уравнения.
- •5.4. Перечень примерных задач для подготовки кэкзамену
- •I. Введение в анализ: множества, функция. Предел и непрерывность функции одной переменной
- •II. Дифференциальное исчислениефункции одной переменной.
- •III.Исследование функций с помощью производной.
- •IV.Неопределённый интеграл.
- •V.Определённый интеграл.
- •VI.Числовые ряды.
- •VII.Функциональные ряды.
- •VIII.Функции нескольких переменных.
- •IX.Дифференциальные уравнения.
- •1. Решить дифференциальные уравнения.
- •2. Решить дифференциальные уравнения.
- •3. Решить дифференциальные уравнения.
- •4. Решить задачи.
- •5. Решить дифференциальные уравнения.
- •6. Решить дифференциальные уравнения.
- •7. Решить дифференциальные уравнения.
- •8. Решить системы дифференциальных уравнений.
- •5.5. Примерный составзаданий варианта билета к экзамену
- •5.5.1. Экзамен №1
- •5.5.2. Экзамен №2
- •6. Методические рекомендации по организации изучения дисциплины
Раздел 3. Дифференциальное исчисление функций одной переменной
1. Производная функции. Дифференцируемость и дифференциал функции. Непрерывность дифференцируемой функции. Правила дифференцирования суммы, разности, произведения и частного двух функций, сложной и обратной функций. Производные основных элементарных функций.
2. Геометрический смысл производной и дифференциала функции. Уравнение касательной к графику функции.
3. Предельные величины в экономике. Эластичность функции, ее свойства. Логарифмическая производная. Задача о распределении налогового бремени.
4. Правило Лопиталя раскрытия неопределенностей.
5. Производные и дифференциалы высших порядков.
6. Локальный экстремум функции, теорема Ферма. Теоремы Ролля. Лагранжа и Коши.
7. Признак монотонности функции на интервале Достаточные условия локального экстремума.
8. Выпуклые (вогнутые) функции. Достаточные условия выпуклости функции. Необходимый и достаточный признаки существования точки перегиба.
9. Асимптоты графика функции Общая схема исследования функции и построения ее графика.
10. Отыскание наибольшего и наименьшего значений функции на отрезке.
Раздел 4. Дифференциальное исчисление функции нескольких переменных
1. Пространство Rn. Расстояние между точками в n-мерном пространстве. ε-окрестность. Внутренние и граничные точки множества. Открытые и замкнутые множества. Изолированные и предельные точки множества. Ограниченные множества.
Сходимость точек в n-мерном пространстве.
2. Функции нескольких переменных. Область определения. Поверхности (линии) уровня функции. Элементарные функции нескольких переменных.
3. Предел и непрерывность функции нескольких переменных. Свойства функций, непрерывных на замкнутом ограниченном множестве ограниченность, достижение наибольшего и наименьшего значений.
4. Частные производные, дифференцируемость, дифференциал функции нескольких переменных. Достаточное условие дифференцируемости. Непрерывность дифференцируемой функции. Касательная плоскость и нормаль к поверхности.
5. Производная сложной функции. Производная по направлению, градиент. Свойства градиента.
6. Эластичности функции нескольких переменных.
7. Частные производные высших порядков. Теорема о равенстве смешанных производных.
8. Локальный экстремум функции нескольких переменных. Необходимое и достаточные условия существования локального экстремума функций нескольких переменных.
9. Выпуклые множества в Rn. Выпуклые (вогнутые) и строго выпуклые (вогнутые) функции нескольких переменных. Необходимое и достаточное условия выпуклости. Достаточное условие строгой выпуклости дважды дифференцируемой функции. Критерий выпуклости (строгой выпуклости) квадратичной формы.
10. Экстремумы выпуклых (вогнутых) функций. Теорема о глобальном характере экстремума выпуклой функции. Теорема о достижении выпуклой функцией глобального экстремума в стационарной точке. Неравенство Йенсена для выпуклых функций.
11. Условный экстремум функции нескольких переменных. Метод исключения переменных. Метод множителей Лагранжа.
12. Нахождение глобальных экстремумов дифференцируемой функции на замкнутом ограниченном множестве.
13. Эмпирические формулы. Метод наименьших квадратов. Нахождение методом наименьших квадратов коэффициентов квадратичной и линейной зависимостей.
14. Функции нескольких переменных в экономическом анализе. Производственная функция. Функция полезности. Предельная полезность. Предельная норма замещения. Кривые безразличия.
Математический анализ. Часть II