5.2. Контрольные работы

В процессе изучения дисциплины студенты выполняют 6 контрольных работ и 6 индивидуальных домашних заданий. Сроки выполнения контрольных работ определены учебно-тематическим планом. Сроки сдачи и порядок выполнения индивидуальных работ студентов устанавливаются преподавателем.

Тематика контрольных работ

Контрольная работа №1 (введение в анализ):

- вычисление пределов последовательностей;

- вычисление пределов функций;

- задача на классификацию точек разрыва функции.

Контрольная работа №2 (производная и ее приложения, задачи с экономическим содержанием):

- вычисление производной функции;

- применение дифференциала функции в приближенных вычислениях;

- вычисление эластичности функции;

- вычисление пределов с применением правила Лопиталя;

- исследование функции и построение ее графика.

Контрольная работа №3 (функции нескольких переменных, задачи с экономическим содержанием):

- задача на нахождение области определения функции двух переменных и ее графическое изображение на плоскости;

- задача на нахождение линий уровня функции двух переменных и их графическое изображение на плоскости;

- вычисление градиента и производной по заданному направлению;

- вычисление первого и второго дифференциала функции двух переменных;

- нахождение точек локального экстремума функции;

- нахождение наибольшего и наименьшего значения функции на ограниченном замкнутом множестве;

- нахождение условного экстремума функции нескольких переменных;

- задача на установление выпуклости функции;

- задача на использование метода наименьших квадратов.

Контрольная работа №4 (интегральное исчисление функции одной переменной и задачи с экономическим содержанием):

- нахождение неопределенного интеграла;

- вычисление определенного интеграла;

- задача на геометрическое приложение (вычисление площади фигуры);

- исследование сходимости несобственного интеграла.

Контрольная работа №5 (числовые и степенные ряды, разложение функции в ряд Тейлора):

- вычисление суммы числового ряда;

- исследование сходимости числового ряда с неотрицательнымичленами;

- исследование знакочередующегося числового ряда на условную иабсолютную сходимость;

- нахождение радиуса сходимости и области сходимости степенногоряда;

- разложение функции в ряд Тейлора (Маклорена).

Контрольная работа №6 (дифференциальные уравнения, задачи с экономическим содержанием):

- решение дифференциального уравнения первого порядка;

- решение линейного дифференциального уравнения второго порядка;

- решение системы линейных дифференциальных уравнений первого порядка;

- задача на исследование моделей роста в экономике.

5.3. Перечень контрольных вопросов к экзамену

I. Введение в анализ: множества, функция. Предел и непрерывность функции одной переменной

1. Множества. Операции над множествами и их свойства (доказательство одного из них).

2. Примеры числовых множеств. Интервал, отрезок. Окрестность точки.

3. Абсолютная величина числа. Свойства абсолютных величин (доказательство одного из них).

4. Переменные и постоянные величины. Область изменения переменной величины. Упорядоченная переменная величина. Возрастающая и убывающая переменная величина. Ограниченная переменная величина.

5. Функция. Область определения и область значений функции. Элементы поведения функции: ограниченность, монотонность, четность и нечетность, периодичность.

6. Способы задания функций.

7. Основные элементарные функции. Элементарные функции. Алгебраические функции.

8. Сложная функция. Обратная функция. Неявная функция. Параметрическое задание функции.

9. Преобразование графиков функций.

10. Применение функций в экономике.

11. Предел переменной величины.

12. Понятие о числовых последовательностях. Предел последовательности.

13. Предел функции в бесконечности и в точке.

14. Бесконечно малые величины и их свойства (доказательство одного из них).

15. Теоремы о связи предела и бесконечно малых.

16. Сравнение бесконечно малых. Свойства эквивалентных бесконечно малых. Таблица эквивалентных бесконечно малых при x→0.

17. Бесконечно большие функции и их свойства.

18. Связь между бесконечно большими и бесконечно малыми функциями.

19. Свойства функций, имеющих предел (доказательство одного из них).

20. Основные правила предельного перехода (доказательство одного из них).

21. Первый замечательный предел (доказательство). Следствия из него.

22. Второй замечательный предел (доказательство). Следствия из него.

23. Определение непрерывности функции в точке. Свойства непрерывных функций (доказательство одного из них).

24. Классификация точек разрыва.

25. Непрерывность на отрезке. Свойства функций, непрерывных на отрезке.