IX.Дифференциальные уравнения.

1. Решить дифференциальные уравнения.

1.1. ху'-у=у³; Ответ:

1.2. ху_*у'=1-х² ; Ответ: х²+у²=ln(cх²)

1.3. у-ху'=1+х²у'; Ответ:

1.4. хуdx+(x+1)dy=0; Ответ: у=с(х+1)_*℮^-х

1.5. ; Ответ: , х=0

1.6. 2х²уу'+у²=2; Ответ:

1.7. уу'+х=1; Ответ: у²+х²-2х=с

1.8. у'=10^х+у Ответ: у=-ln(c-10^x)

1.9. у'-у=2х-3; Ответ: 2х+у-1=с_*℮^х

1.10. (сделайте замену переменных):

(2х-у)dx+(4x-2y+3)dy=0; Ответ: 5х+10у+с=3ln(10x-5y+6)

2. Решить дифференциальные уравнения.

2.1. ; Ответ:

2.2. (х-у)_*уdx-x²dy=0; Ответ: ; у=0

2.3. (х²+у²)dx-2xydy=0; Ответ: (х-с)²-у²=с²

2.4. ; Ответ: , у=0

2.5. ydy+(x-2y)dx=0; Ответ: х=(у-х)_*lnc(y-x), у=х

2.6. ; Ответ:

3. Решить дифференциальные уравнения.

3.1. ; Ответ: у=сх+х²

3.2. ; Ответ:

3.3. у²dx-(2xy+3)dy=0; Ответ:

3.4. у'-у=℮^х; Ответ: у=(х+с)_*℮^х

3.5. ху'-2у=х, у(1)=-1; Ответ: у=-х

4. Решить задачи.

4.1. Определить численность населения России через 20 лет, считая, что скорость прироста населения пропорциональна его наличному количеству, и зная, что население России в 2000 году составляло 145 миллионов человек, а прирост населения за 2000 год был равен 2%.

Ответ: (миллионов человек)

4.2. Тело движется со скоростью, пропорциональной пройдённому пути. Какой путь пройдёт тело за 5 секунд от начала движения, если известно, что за 1 секунду оно проходит 8 метров, а за 3 секунды – 40 метров?

Ответ: 200 метров.

4.3. Найти уравнение кривой, проходящей через точку А(4; 1) для которой:

а) отрезок любой касательной к кривой, заключенной между осями координат, делится точкой касания пополам;

б) отрезок касательной между точкой касания и осью абсцисс делится пополам в точке пересечения с осью ординат.

Ответ: а) ; б) .

4.4. Найти выражение объёма реализованной продукции у=у(t) и его значение при t=2, если известно, что кривая спроса имеет вид Р(у)=3-2у, норма акселерации , норма инвестиций β=0,6; у(0)=1.

Ответ: ;

5. Решить дифференциальные уравнения.

5.1. у'''=℮^2х Ответ:

5.2. х(у''+1)+у'=0 Ответ:

5.3. уу''=(у')²-(у')³, у(0)=1; у'(0)=2 Ответ:

5.4. 2у(у')+у''=0, у(0)=0; у'(0)=-3 Ответ: у³-у=3х

6. Решить дифференциальные уравнения.

1. у''-4у=3х²+2х+1 Ответ:

2. у''+у'-2у=х²+3 Ответ:

3. у''-5у'=3х+1 Ответ: у=С₁+С₂℮^5х-0,3х²-0,32х

4. у''+4у'=2х-1 Ответ:

5. у''-4у=℮^2х Ответ:

6. у''+у'-2у=℮^2х Ответ:

7. у''+4у=sin2x+2cos2x Ответ:

8. у''+1=cosx Ответ: