- •Оглавление
- •1. Вводная часть
- •1.1. Задачи геодезии
- •1.2. Понятие о фигуре Земли
- •1.3. Влияние кривизны Земли на угловые, линейные и высотные измерения
- •1.4. Системы координат, применяемые в геодезии
- •1.4.1. Географическая система координат
- •1.4.2. Плоская прямоугольная система координат
- •1.4.3. Полярная система координат
- •2. Топографические планы и карты
- •2.1. Понятие о плане и карте
- •2.2. Масштаб
- •2.3. Понятие о картографической проекции Гаусса-Крюгера
- •2.4 Номенклатура топографических карт
- •2.5. Ориентирование линий местности
- •2.6. Изображение рельефа местности на топографических картах
- •2.7. Решение некоторых задач на карте с помощью горизонталей
- •2.7.1. Определение высот точек:
- •2.7.2. Определение крутизны ската
- •2.8. Условные знаки на топографических картах
- •2.9. Понятие об электронной карте
- •3. Начальные сведения из теории погрешностей измерений
- •3.1. Сущность измерений. Виды погрешностей и методы борьбы с ними
- •3.2. Средняя квадратическая погрешность одного измерения
- •3.3. Формула Бесселя
- •3.4. Средняя квадратическая погрешность функций измеренных величин
- •3.5. Понятие о двойных измерениях
- •3.6. Понятие о неравноточных измерениях
- •4. Понятие о государственной геодезической сети
- •4.1. Плановая Государственная геодезическая сеть
- •4.2. Высотная Государственная геодезическая сеть
- •4.3. Понятие о спутниковых навигационных системах
- •5. Угловые измерения
- •5.1. Части геодезических приборов
- •5.1.1. Цилиндрический уровень
- •5.1.2. Зрительная труба
- •5.1.3. Угломерные круги
- •5.2. Классификация теодолитов
- •5.3. Принцип измерения горизонтального угла
- •5.4. Общее знакомство с теодолитом 2т30
- •5.5. Понятие о поверках теодолита
- •5.5.1. Оси теодолита
- •5.5.2. Схема проведения поверок
- •5.6. Поверка цилиндрического уровня
- •5.7. Поверка коллимационной ошибки
- •5.8. Поверка перпендикулярности оси вращения трубы и оси вращения теодолита
- •5.9. Поверка сетки нитей
- •5.10. Измерение горизонтального угла методом полного приема
- •5.11. Влияние установки прибора и вех на измеряемое направление
- •5.12. Измерение углов наклона
- •6. Измерение длин линий
- •6.1. Измерение расстояний мерными лентами и рулетками
- •6.2. Измерение расстояний физико-оптическими дальномерами
- •6.3. Понятие о светодальномерах
- •7. Измерение превышений
- •7.1. Сущность и методы геометрического нивелирования
- •7.2. Последовательное нивелирование
- •7.3. Классификация нивелиров
- •7. 4. Устройство нивелира н3
- •7.5. Поверки нивелира н3
- •7.5.1. Поверка круглого уровня
- •7.5.2. Поверка главного условия
- •7.5.3. Поверка сетки нитей
- •7.6. Нивелирные рейки
- •7.7. Порядок работы на станции нивелирования
- •7.8. Основные источники погрешностей при геометрическом нивелировании
- •7.9. Прокладка нивелирного хода
- •7.10. Техническое нивелирование
- •7.11. Тригонометрическое нивелирование
- •7.12. Гидростатическое нивелирование
- •8. Геодезическое съемочное обоснование
- •8.1. Теодолитные ходы
- •8.2. Математическая обработка замкнутого теодолитного хода
- •8.3. Математическая обработка разомкнутого теодолитного хода
- •9. Топографические съемки
- •9.1. Теодолитная съемка
- •9.1.1. Способ прямоугольных координат
- •9.1.2. Способ полярных координат
- •9.1.3. Способ угловой засечки
- •9.1.4. Способ линейной засечки
- •9.2. Нивелирование поверхности
- •9.3. Продольное нивелирование
- •9.4. Тахеометрическая съемка
- •9.5. Понятие о других видах съемки
- •10. Геодезические работы в строительстве
- •10.1. Инженерно-геодезические изыскания
- •10.2. Понятие о ппгр
- •10.3. Разбивочные работы
- •10.3.1. Виды разбивочных работ
- •10.3.2. Элементы разбивочных работ
- •10.3.3. Решение обратной геодезической задачи
- •10.3.4. Способы разбивочных работ
- •Способ прямоугольных координат.
- •Способ полярных координат.
- •10.3.5. Закрепление осей сооружений
- •10.3.6. Передача отметки на дно котлована
- •10.3.7. Разбивочные работы при монтаже сборных фундаментов
- •10.3.8. Разбивочные работы при монтаже железобетонных и металлических колонн
- •10.3.9. Разбивочные работы при монтаже балок
- •10.4. Исполнительные съемки
- •10.5. Понятие о смещениях и деформациях инженерных сооружений в процессе эксплуатации
- •Заключение
- •Библиографический список
- •Предметный указатель
3.2. Средняя квадратическая погрешность одного измерения
После выполненных измерений всегда необходимо оценить их точность. Оценку точности можно сделать только тогда, когда есть повторные или избыточные измерения. Существуют различные критерии точности. Наиболее удобным и естественным критерием является дисперсия D , характеризующая меру рассеяния результатов измерений. Поскольку на практике число повторных измерений всегда конечно, приходится ограничиваться приближенным значением ее, носящим название оценки дисперсии. Она вычисляется по формуле
(13)
где 1 , 2 , … , n -случайные погрешности в результатах измерений одной и той же величины. В математической статистике доказывается, что оценка (13) является состоятельной, эффективной и несмещенной. Определенным неудобством в использовании этой оценки является её квадратическая размерность по сравнению с результатами измерений. Для избежания этого неудобства используют критерий точности
или (14)
носящей название средней квадратической погрешности. Она обладает рядом достоинств.
I. При числе измерений n 9 величина т изменяется очень мало и, следовательно, значение т близко к её теоретическому аналогу - стандарту . При числе измерений n<9 критерий точности т следует считать ненадёжным.
2. Из опыта установлено, что в ряду, состоящем из 1000 измерений, лишь три случайные погрешности превосходят величину 3m. Следовательно, её можно принять за предельную погрешность Δпред , т.е.
Δпред = 3m .
Величина 3m и является тем пределом, о котором речь шла в первом свойстве случайных погрешностей. Предельная погрешность играет важную роль при установлении допусков в различных нормативных документах, так как 3m принимают за допустимую погрешность Δдоп , т.е.
Δдоп = Δпред = 3m .
При увеличении числа измерений надёжность найденной по формуле (14) погрешности возрастает. В теории погрешностей измерений доказывается, что погрешность тm определения самой погрешности приближённо можно найти по формуле
В заключение подчеркнем, что погрешность m служит критерием точности одного измерения, характерного для всей группы выполненных измерений
3.3. Формула Бесселя
Критерий точности m, введённый по формуле (14), на практике имеет ограниченное применение, так как случайные погрешности Δi остаются неизвестными. Для той же самой средней квадратической погрешности m можно вывести формулу с использованием арифметической средины x0
(15)
где vi = li – x0 , x0 = (l1 + l2 + … + ln)/n , li – результаты измерений. Формула (15) носит название формулы Бесселя и применяется на практике для оценки точности.
3.4. Средняя квадратическая погрешность функций измеренных величин
Выше был рассмотрен вопрос об оценке точности непосредственно измеренных величин. На практике часто для получения интересующей нас величины измеряют другие величины, а нужную нам величину затем вычисляют по известным аналитическим формулам. При этом, естественно, неизбежные случайные погрешности в непосредственно измеренных величинах повлияют на точность окончательного результата. Возникает задача нахождения средней квадратической погрешности этого окончательного результата как функции погрешностей отдельных измерений. Например, для определения площади фигуры, имеющей форму прямоугольника, измеряют его стороны а и b, а затем вычисляют площадь S = a·b . Погрешности в измеренных сторонах тa и mb могут быть найдены по формуле (15). Они внесут некоторую погрешность в найденное значение площади S. Определению погрешностей функций измеренных величин и посвящается данный раздел.
В самом общем виде функция многих независимых переменных имеет вид f(х, у, z,..., t). Погрешности mx , my , mz , … , mt известны заранее или вычислены из многократных измерений по формуле Бесселя. В теории погрешностей измерений доказывается, что средняя квадратическая погрешность mf функции f будет равна
(16)
где суть частные производные,
конечно, при условии их существования. Применим общую формулу (16) для вычисления погрешностей некоторых частных видов функций.
1. f = kx ( k = Const);
тогда
или (17)
f = k1x + k2y + k3z + … + knt ;
тогда (18)
В рассмотренном нами примере вычисления площади
и
Применим формулу (18) для вычисления средней квадратической погрешности среднего арифметического
и найдем
П оскольку каждое измерение li выполнено с одинаковой точностью ml , т.е.
(19)
К ак и следовало ожидать, точность среднего арифметического оказалась выше точности одного измерения ml , причем выше в раз.