3.5. Понятие о двойных измерениях

Часто на практике требуется измерить однородные по своей при­роде величины L₁ , L₂ , … , L_n , например, длины сторон много­угольника. Для контроля грубых погрешностей достаточно каждую сто­рону измерить дважды, получив значения L'_i и L"_i. Однако для оце­нки точности применить формулу Бесселя в чистом виде здесь нельзя, так как измерялись разные по своему значению величины.

Составим разности двойных измерений

(20)

которые можно рассматривать как истинные случайные погрешности. Поэтому к разностям d_i - применима формула (14), которая примет вид

(21)

С другой стороны, применяя к разностям d_i из (20) формулу (18), получим

Подставим в (22) значение т_d , из (21) и окончательно получим

(23)

Погрешность m_L характеризует точность одного измерения всего ряда величин L′_i , L″_i .

3.6. Понятие о неравноточных измерениях

До сих пор мы рассматривали измерения, выполненные в одних и тех же условиях и приборами одинаковой точности. Такие измерения называются равноточными. В противном случае измерения будут нерав­ноточными и для оценки точности необходимо учесть их надёжность, характеризующуюся специальным числом, называемым весом. Чем точ­нее измерение, тем больше его вес. Поэтому вес Р принимают обратно пропорциональным квадрату его погрешности т , т.е.

где с - некоторый коэффициент пропорциональности. Обычно вес како­го-то конкретного или абстрактного измерения принимают за единицу и относительно его вычисляют веса остальных измерений.

Пусть выполнены измерения l₁ ,l₂ , … ,l_n , с весами соответственно P₁ ,P₂ , … ,P_n . Тогда весовое среднее арифметическое значение найдется по формуле

а формулы (14), (15), (19) примут вид

В заключение главы остановимся на философском понятии «истинное значение измеряемой величины». Это понятие является математической абстракцией и в природе его не существует. Истинное значение является аналогом философского понятия абсолютной истины, а измеренное значение – относительной истины. При увеличении точности измерений получается ряд значений, приближающийся к некоторому абстрактному пределу (абсолютная истина). Но уже на молекулярном, а тем более на атомном и квантовом уровнях, сам этот предел становится размытым и неопределенным, а смысл точности в привычном понимании теряется. На практике же результат измерения, на порядок и более превышающий по своей точности другие измерения, зачастую принимают за истинное значение.

4. Понятие о государственной геодезической сети

Для изыскания, проектирования и строительства инженерных соо­ружений, создания карт и планов, а также для решения ряда научных задач на земной поверхности, необходимо иметь точки с известными координатами и высотами, вычисленными в единой государственной системе координат. Совокупность таких точек, равномерно расположен­ных на всей территории страны, образуют государственную геодезичес­кую сеть (ГГС). Она делится на плановую и высотную.

4.1. Плановая Государственная геодезическая сеть

Плановая ГГС создается методом триангуляции, трилатерации и полигонометрии (рис.4.1).

Триангуляция (рис.4.1, а) представляет собой ряд треугольников, в которых измерены все углы и концевые стороны (базисы) АВ и CD. Из астрономических измерений вычисляют

широту и долготу точек A, B, C, D, а также азимуты базисов. Решая последовательно треугольники A–B–1, затем B-1-2, и т.д., находят широты и долготы точек 1, 2, 3, ... и длины сторон всех треугольников. После этого в про­екции Гаусса-Крюгера переходят к прямоугольным координатам (Х, Y) этих точек в единой системе координат.

Если в цепи треугольников вместо углов измерены все стороны, то такое построение называется трилатерацией.

Полигонометрия (рис.4.1, б) представляет собой разомкнутый или замкнутый многоугольник, в котором измерены все стороны и углы.

Пункты плановой ГГС надёжно закрепляются на местности. Для обеспечения взаимной видимости между пунктами над ними устанавли­вают геодезические сигналы (вышки).

По своей точности плановая ГГС делится на четыре класса. Сеть 1 класса строится в виде рядов треугольников со сторонами 20-25 км. Ряды располагаются вдоль меридианов и параллелей, образуя замкну­тый полигон в виде четырехугольника периметром 800-1000 км. Анало­гично строится полигонометрический ход 1 класса.

Таблица 2

Показатели	Триангуляция				Полигонометрия
	1 кл.	2 кл.	3 кл.	4 кл.	1 кл.	2 кл.	3 кл.	4 кл.
Длины сторон, км	20 и более	7-20	5-8	1-5	20-25	7-20	3-8	0,25-2,0
m	0,7"	1,0"	1,5"	2,0"	0,4"	1,0"	1,5"	2,0"
mS базиса	1:4·105	1:3·105	1:2·105	1:2·105
mS сторон					1:3·105	1: 2,5·105	1: 1,5·105	1: 1,5·105

Внутри полигонов 1 класса и самих треугольников строится сплошная сеть треугольников или полигонометрии 2 класса с длинами сторон от 7 до 20 км.

Дальнейшее сгущение сети производится построением пунктов 3 и 4 классов с длинами сторон 5-8 км.

Точностные характеристики перечисленных классов точности ГГС приведены в таблице 2. В этой таблице под точностью измерения углов понимается средняя квадратическая погрешность m_ , а под точностью измерения сторон - относительная средняя квадратическая погрешность m_S /S.