8. Геодезическое съемочное обоснование

Для изыскания, проектирования и строительства инженерных со­оружений, а также создания планов и карт местности, на земной по­верхности необходимо иметь точки с известными координатами Х, Y и высотами Н . Имеющаяся государственная геодезическая сеть (ГГС) (cм. главу 4), а также сети сгущения не могут обеспечить решения поставленных задач вследствие их малой плотности. Возникает задача создания на земной поверхности дополнительных точек с известными координатами и высотами. Эта задача носит название «развитие съ­емочного обоснования». Оно подразделяется на плановое и высотное.

Высотное съемочное обоснование осуществляется путем прокладки нивелирных ходов с требуемой густотой точек и необходимой точ­ностью.

В настоящее время развитие съемочного обоснования может проводиться с применением GPS-приемников, но применяются и традиционные методы, описанные ниже.

8.1. Теодолитные ходы

Одним из методов создания планового обоснования является прокладка теодолитных ходов. Теодолитным ходом называется построенный на местности разомкнутый или замкнутый многоугольник, у которого измерены все стороны и углы и

который своими концами опирается на пункты P₁ и Р₂ ГГС (рис.8.1).

Точки хода 1, 2,..., n желательно выбирать на открытых участ­ках, обеспечивая удобное измерение углов и длин линий. Следует из­бегать длин линий, меньших 40 м на открытых и 20 м на застроенных территориях, и больших 300 м. Точки закрепляются на местности коль­ями. После окончания полевых работ производится математическая об­работка результатов измерений с целью вычисления координат точек хода. Прежде чем переходить к этому вопросу, решим одну вспомога­тельную задачу, которая носит название прямой геодезической задачи.

П усть на плоскости даны точка L₁ c известными координатами (X₁ , Y₁ ), длина линии S_1,2 и дирекционный угол α_1,2 с точки L₁ на точ­ку L₂ (рис.8.2). Требуется найти координаты (X₂ ,Y₂ ) точки L₂ . Очевидно,

X₂ = X₁ + ΔX_1,2 ;

Y₂ = Y₁ + ΔY_1,2 ;

ΔX_1,2 = S_1,2 · cos α_1,2 ;

ΔY_1,2 = S_1,2 · sin α_1,2 ;

8.2. Математическая обработка замкнутого теодолитного хода

Целью математической обработки теодолитного хода является вы­числение координат точек хода. Для решения этой задачи необходимы следующие исходные данные (рис.8.3).

1. Измеренные теодолитом го­ризонтальные углы β_i .

2. Измеренные и приведенные к горизонту длины сторон S

3. Координаты (X₁ , Y₁) пункта ГГС точки Р₁ .

4. Дирекционный угол α₀ с пункта P₁ на соседний пункт ГГС точку М и измеренный теодолитом примычный угол β_пр .

Весь процесс вычисления координат удобно разбить на отдельные этапы.

Э тап 1. Уравнивание углов.

В замкнутом многоугольнике, каковым является рассматриваемый теодолитный ход, теоретически

Σ β_теор = 180˚ (n – 2) (80)

Вследствие неизбежных погрешностей измерений на практике равенство (80) на будет выполняться. Поэтому

Σ β_i - 180˚ (n – 2) = f_β ≠ 0 . (81)

Величина f_β называется угловой невязкой. Она служит показателем точности угловых измерений и должна удовлетворять допуску f_β ≤ f_доп .

( 82)

где п - количество углов в ходе, t - точность отсчетного устройства теодолита . Если невязка f_β не удовлетворяет допуску, то по-видимому, угловые измерения содержат грубую (одну или несколько) пог­решность, которую необходимо выявить и устранить в результате пов­торных измерений. Если угловая невязка удовлетворяет допуску, то измерения углов выполнены удовлетворительно. Однако невязка f_β внесет в дальнейшие вычисления неоднозначность, поэтому ее следует устранить, введя в измеренные углы поправки

v_i = - f_β /n . (83)

Если невязка f_β не делится без остатка на число углов n , то нес­колько большие поправки вводят в углы с короткими сторонами. Исп­равленные углы β_i называются увязанными и удовлетворяют равенству (80).

Этап 2. Вычисление дирекционных углов сторон

Для вычисления координат точек хода необходимо знать дирекционные углы сторон. Из рис.8.3 следует, что дирекционный угол α_1,2 стороны Р₁2 равен

α_1,2 = α₀ + β_пр (84)

Продолжим сторону Р₁2 и отметим при точке 2 угол α_1,2 . Очевидно, что следующий дирекционный угол α_2,3 равен

α_2,3 = α_1,2 + 180˚ - β₂ . (85)

Рассуждая аналогично, можно написать

(86)

С целью контроля еще раз вычисляют α_1,2

α_1,2 = α_п,1 + 180˚ - β₁ . (87)

Найденный α_1,2 должен быть равен α_1,2 из (84).

Найденные по формуле (86) дирекционные углы верны для так назы­ваемых правых углов β_i . Если по ходу нумерации точек теодолитного хода измеренные углы расположены слева, то они называются левыми. Для таких углов формулы дирекционных углов имеют вид

α_{i, i+1} = α_{i-1, i} - 180˚ + β_i . (88)

Этап 3. Вычисление и увязывание приращений координат

П ри известных координатах точки P₁ , дирекционных углах всех сторон и их длинах можно, последовательно решая прямую геодезическую задачу, найти координаты всех точек хода. Однако, дело осложняется тем, что в измеренных длинах сторон содержатся погрешности. Это, как и в случае с углами, приведет к неоднозначности решения. Поэтому необходимо предварительно выполнить уравнивание приращений координат.

Представим стороны теодолитного хода векторами (рис.8.4). Известно, что сумма векторов в замкнутом многоуголь­нике, а также суммы их проекций на координатные оси, равны нулю, т.е.

(89)

Вследствие погрешностей в измерен­ных длинах сторон теоретические равенства (89) для вычисленных ΔX_выч = S · cos α и ΔY_выч = S · cos α выполняться не будут.

(90)

Величины f_X и f_Y называются невязками. Они являются.в основном показателями точности линейных измерений. Образование невязок f_X , f_Y графически означает незамыкание хода (рис.8.4). Отрезок F = P′₁P называется абсолютной линейной невязкой. Очевидно, что

(91)

Погрешность линейных измерений принято характеризовать относитель­ной погрешностью, на которую накладывается допуск

(92)

где Р – периметр хода (сумма длин всех сторон).

Если допуск (92) не выполняется, то в линейных измерениях допущена одна или несколько грубых погрешностей, которые необходимо выявить и устранить в результате повторных измерений длин линий. Если до­пуск (92) выполняется, то невязки f_X и f_Y следует распределить с противоположным знаком между всеми ΔХ и ΔY пропорционально дли­нам сторон. С учетом введенных поправок приращения координат назы­ваются исправленными или увязанными.

Этап 4. Вычисление координат точек хода Поскольку координаты точки P₁ ( Х₁ , Y₁ ) известны, то

X₂ = X₁ + ΔX_{1,2 испр} ; Y₂ = Y₁ + ΔY_{1,2 испр} ;

X₃ = X₂ + ΔX_{2,3 испр} ; Y₃ = Y₂ + ΔY_{2,3 испр} ;

……………………………………………… (93)

X_n = X_n-1 + ΔX_{n-1,n испр} ; Y_n = Y_n-1 + ΔY_{n-1,n испр} ;

X₁ = X_n + ΔX_{n,1 испр} ; Y₁ = Y_n + ΔY_{n,1 испр} ;

Вычисления в последнем равенстве (93) выполняют с целью контроля.