1.2 Основные принципы матричного метода перемещений (ммп).

1.2.1 Основные гипотезы ммп:

1. Деформации растяжения сжатия малы по сравнению с деформациями изгиба, поэтому ими можно пренебречь, т.е. считать, что перемещения узлов происходят только за счет изгиба стержней;

2. Перемещения системы малы, поэтому пренебрегаем сближением концов стержней при изгибе. Т.е. длина стержня остается равной длине хорды, соединяющей его концы после искривления.

3. В шарнирно-стержневых системах (фермах) учитываются только деформации растяжения-сжатия.

За неизвестные в ММП принимаются возможные линейные перемещения узлов системы и возможные углы поворота жестких узлов.

Обозначим:

Z_i – возможные перемещения системы;

P_i – внешние узловые силы и моменты, приложенные в направлении возможных перемещений;

S_i – усилия в стержневых элементах: в фермах осевые силы, а в рамах моменты по концам стержней.

Рис. 1 Расчетная схема фермы

Рис. 2 Возможные перемещения узлов фермы.

Вектор внешних сил по возможным перемещениям: ;

Вектор усилий в стрежнях: , соответственно вектор деформаций: .

Статическая матрица А имеет размер mn, где m число возможных перемещений узлов, а n - число столбцов, равное числу внутренних усилий.

1. При m > n – система изменяема. Число степеней свободы W = m – n.

2. При m = n – система неизменяема и статически определима, если ее определитель Det A  0. Если Det A = 0 – – система мгновенно изменяема¹.

3. При m < n – система неизменяема и статически неопределима.

Проведем кинематический анализ фермы на рис. 1². Из уравнений статического равновесия:

Тогда

m < n – следовательно система статически неопределима.

Связь между перемещениями и деформациями определяется уравнениями неразрывности деформаций.

Рис. 3 Деформации элементов при перемещении Z₁.

Рис. 4 Деформации элементов при перемещении Z₂.

Отсюда:

В матричном виде:

,

где B – матрица деформаций, выражающая деформации элементов через перемещения ее узлов:

Статическая матрица А и матрица деформации В являются транспонированным друг относительно друга.

или

Доказательство:

Работа внешних сил на возможных перемещениях Z равна:

Работа внутренних сил на возможных деформациях равна:

Работа внутренних сил всегда отрицательна, поскольку силы препятствуют деформациям. Закон сохранения энергии:

,

что и требовалось доказать

Связь между усилиями и деформациями системы определяется законом Гука:

S_n – вектор усилия в элементе;

_n – вектор деформаций;

k_n - матрица жесткости элемента.

а) Шарнирный элемент.

Рис. 5 Деформации шарнирного элемента.

Осевая сила в элементе равна:

или

б) Элемент с шарниром на одном конце и заделкой на другом конце.

Рис. 6 Деформации и усилия в элементе с шарниром и заделкой.

Изгибающий момент в опорном сечении равен:

в) Элемент, жестко защемленный по концам.

Рис. 7 Деформации и усилия в жестко защемленном элементе.

- вектор внутренних усилий (моментов);

- вектор деформаций

- матрица жесткости.

Построим матрицу жесткости фермы, показанной на рис. 1. Величина (E·F) для всех элементов постоянна, меняется только их длина.

Матрица жесткости – квадратная. На главной диагонали матрицы жесткости отдельных элементов, а все прочие элементы нулевые.