1.5 Нестационарное распределение температуры в среде

Рассмотрим теплопроводящую среду, заключенную между двумя стенками (рис.3), с граничными условиями 2-го рода на внутренней поверхности и 1-го рода на внешней поверхности. Положим, что нагрев среды осуществляется с момента времени t = 0, при этом начальное распределение температуры равномерное и равно Т₀. Положим также, что нагрев среды через внутреннюю поверхность осуществляется за период времени, за который температура на внешней поверхности не успевает существенно изменится по отношению к начальной температуре. Тогда можно в течении указанного периода среду считать бесконечно протяженной (0  х <). Обозначив расстояние между внешней и внутренней поверхностями в общем случае как d, можно показать, что это предположение выполняется при условии

t  0,1 d² /.

Математическая формулировка поставленной задачи выглядит следующим образом:

, - , Т(х,0)=Т₀.

Опуская математические выкладки, приведём решение задачи:

,

где erfc - интеграл вероятности (функция Крампа).

1.6 Регулярный теплообмен

В большинстве практических задач о нагревании и охлаждении твердых тел процесс установления температуры в теле во времени можно разделить на два периода: начальный период, в течении которого, скорость изменения температуры внутри тела зависит от начального распределения температуры, и второй период, в течении которого относительное изменение температуры во всех точках твердого тела не зависит от начального распределения температуры. Подобный режим нагревания (охлаждения) называется регулярным режимом, он характеризуется постоянством так называемого темпа нагревания (охлаждения) т, равного

,

где Т_YCT – установившаяся в точках тела температура по завершении процесса нагревания или охлаждения.

Вопросы для самоконтроля по теме

1. Что такое теплопроводность?

2. Сформулируйте закон Фурье.

3. Дайте определение коэффициента теплопроводности.

4. Напишите уравнение теплопроводности.

5. Что такое температуропроводность?

6. Сформулируйте краевую задачу на уравнение теплопроводности.

7. В чем состоит смысл теоремы единственности решения краевой задачи теплопроводности?

8. Сформулируйте граничные условия 1-го и 2-го рода.

9. Что описывает закон Ньютона-Рихмана?

10. Как учитываются внутренние источники теплоты в уравнении теплопроводности?

11. Что такое регулярный режим нагревания (охлаждения)?

12. Опишите распределение температуры в плоской стенке в стационарном режиме, если в стенке отсутствуют внутренние источники теплоты.

Тест по теме

1.1 Математическая формулировка закона Фурье есть

а) Q , б) Q , в) Q .

1.2 Уравнение теплопроводности без внутренних источников теплоты имеет вид:

а) ρC_v(дТ/дt) = д /дх(λдТ/дх) ,

б) ρC_v(дТ/дt) = λдТ/дх,

в) λ(дТ/дt) = ρC_v(дТ/дх) ,

1.3 Заданное распределение температуры на границе описывается условиями

а) 3-го рода, б) 2-го рода, в) 1-го рода.

Заданное распределение плотности теплового потока описывается условиями:

г) 2-го рода, д) 3-го рода, е) 1-го рода.

Теплообмен граничной поверхности с окружающей твердое тело средой постоянной температуры описывается граничными условиями

ж) 1-го рода, з) 3-го рода, и) 2-го рода.

1.4 При регулярном теплообмене

а) скорость изменения относительной температуры в точках твердого тела пропорциональна времени;

б) скорость изменения температуры зависит от начального распре-деления температуры;

в) скорость изменения относительной температуры в точках твердого тела постоянна.

1.5 Период температуры в плоской стенке единичной толщины при заданной плотности теплового потока равен

а) Т = Q/ , б) Т  = Q , в) Т = Q  1.