Если на границе происходит теплообмен, то

λдТ/дх + α(Т – Т₀ . (10)

Данное условие носит название граничного условия 3-го рода (закон Ньютона-Рихмана).

1.4 Стационарное распределение температуры в среде

Стационарными называются такие задачи, в которых функция распределения температуры не зависит от времени и является функцией только координаты. Частная производная дТ/дt=0. В этом случае уравнение теплопроводности (6) принимает вид:

d²T(x)/dx²=0, (11)

где вторая частная производная по координате х заменена на обычную вторую производную, т. к. функция распределения температуры не зависит от времени.

Требуется найти решение уравнения (11), если на границах среды поддерживаются постоянные температуры Т₁ и Т₂ (рис.1). Граничные условия записываются так:

Т(0) = Т₁, Т(1) = Т₂. (12)

Общее решения дифференциального уравнения (11) имеет вид:

Т(х) = С₁х + С₂,

где С₁ и С₂ – произвольные постоянные. Для их определения необходимо воспользоваться граничными условиями (12). Частное решение удовлетворяющее этим условиям, выглядит так:

Т(х) = (Т₂ - Т₁)/1+ Т₁.

Температура вдоль оси х меняется по линейному закону (рис. 1).

Рассмотрим случай, когда внешняя поверхность стенки толщиной 1 контактирует с массивным твердым телом, вследствие чего на внешней поверхности поддерживается постоянная температура. На внутренней поверхности плоской стенки задана плотность теплового потока Q (рис. 3).

T₂ твердое Рис. 3

тело

Q

0 1 х

внутренняя внешняя

поверхность поверхность

Уравнение теплопроводности имеет вид (11), а граничные условия записываются так:

, Т(1) = Т₂.

Общее решение, как и в предыдущем случае имеет вид:

Т(х) = С₁х + С₂.

Производная dT/dx = С₁ и из первого условия получаем:

-С₁ = Q, С₁ = -Q/.

Второе условие, с учетом найденного значения С₁, дает:

С₂ = Т₂+ (Q/)1.

Подставляя найденные выражения для С₁ и С₂ в общее решение, получаем:

Т(х) = (Q/)(1 – x) + T₂.

Температурный перепад на стенке

Т(0) – Т(1) = (Q/)1.

Рассмотрим теперь стенку толщиной 2d, в которой равномерно распределены источники теплоты, объемной плотностью q. На внутренней и внешней плоскостях имеет место теплообмен с окружающей средой с коэффициентом теплоотдачи , температура среды в дали от поверхности постоянна и равна Т₀.

В стационарном случае и уравнение, описывающее распределение температуры в стенке принимает вид:

.

После интегрирования получаем:

,

.

Постоянные интегрирования находятся из граничных условий. В силу постоянства точности источников теплоты в стенке и одинаковости условий охлаждения на внутренней и внешней поверхностях распределение температуры симметрично относительно ее середины. Удобно в этом случае принять за x = 0 середину стенки. Тогда граничные условия имеют вид:

;

.

После подстановки в граничные условия полученного общего решения дифференциального уравнения

.

Окончательно распределение температуры в стенке описывается выражением:

.

В силу симметрии максимальная температура стенки достигается в середине стенки, она равна:

.

В рассмотренной задаче тепловой поток изменяется вдоль направления x, его плотность равна:

.

Тепловой поток на охлаждающей поверхности соответственно равен:

,

Откуда температура стенки:

,

А перепад температуры между середины стенки и ее поверхностью равен:

.

Если коэффициент теплоотдачи положить  = , то полученное решение будет представлять собой температурное в стенке при граничных условиях I рода, так как Т(d) = Т₀ при  = . В этом случае:

.

При этом температура в середине стенки (x = ):

,

А перепад температуры остается равным:

.