Введение

Математическое моделирование физических процессов широко применяется в научно-технической практике. Основой математического моделирования является так называемая математическая модель процесса, которая позволяет получить его, не прибегая к натурному эксперименту, что существенно упрощает количественное исследование процесса и расширяет возможности его изучения.

Правильная организация основных рабочих процессов в теплоэнергетике, в химической и пищевой технологии, в технике холода, в металлургии, электротехнике, горном деле и т.п. невозможна без знания законов тепло- и массообмена в элементах машин, аппаратов, шахт, печей и других технических объектах. С учетом этого обстоятельства ниже рассмотрены математические модели тепло- и массообмена как наиболее важные из всех математических моделей, встречающихся в технической физике.

Объем учебно-практического пособия не позволяет подробнейшим образом рассмотреть упомянутые выше модели и процессы, ими описываемые. Поэтому в пособии рассмотрены лишь простейшие модели с одной пространственной координатой. Более сложные модели описаны в рекомендованной литературе.

Основное внимание уделено моделям стационарной теплопроводности, в частности модели теплопередачи через плоскую стенку при различных условиях теплопередачи со средой, контактирующей с внутренней и внешней поверхностями стенки. Нестационарным моделям уделено меньшее внимание.

Многие процессы теплопередачи сопровождаются переносом вещества. Поэтому в пособии даются математические основы построения моделей массопереноса.

Следует отметить, что даже относительно простые математические модели далеко не всегда позволяют получить описание их поведения в аполитической форме и требуют применения приближенных методов анализа. Вопросы приближенных методов анализа, а также учет простейших нелинейностей, встречающихся в моделях (например, зависимость коэффициента теплопроводности от температуры), тоже затронуты в настоящем пособии.

Также в пособии приводятся варианты контрольных заданий с образцами их выполнения.

Тема 1. Теплопроводность

Теплопроводностью называется процесс передачи количества теплоты от одного участка вещества к другому за счет хаотического теплового движения частиц вещества.

1.1. Закон теплопроводности

Р ассмотрим среду, заключенную между двумя параллельными стенками, имеющими различные температуры Т₁ и Т₂ (рис.1).

Рис.1

Температура среды меняется от точки к точке вдоль оси х. В этом случае имеет место поток теплоты вдоль оси х. Теплота самопроизвольно переходит в направлении от высшей температуры к низшей.

Плотностью потока называют вектор Q, совпадающий по направлению с направлением распространения теплоты и численно равный количеству теплоты, проходящему в одну секунду через единичную площадку, перпендикулярную к направлению распространения теплоты.

Из опыта следует, что плотность потока теплоты пропорциональна разности температур и обратно пропорциональна расстоянию, на котором происходит изменение температуры (закон Фурье):

Q (1)

Здесь есть частная производная функции температуры по координате х - градиент температуры,  - коэффициент пропорциональности, называемый теплопроводностью и зависящий от вида рассматриваемого газа и его физического состояния. Теплопроводность среды  численно равна плотности теплового потока при градиенте температуры равном единице. Знак минус показывает, что теплота переходит в сторону убывания температуры.

Формула (1) носит название закона теплопроводности.