- •Введение
- •1. Основы математического программирования
- •1.1. Постановка задачи математического программирования
- •1.2. Разновидности змп
- •1.3. Базовые понятия и терминология математического программирования
- •1.4. Производная по направлению. Градиент
- •1.5. Касательные гиперплоскости и нормали
- •1.6. Разложение Тейлора
- •1.7. Задача нелинейного программирования и условия существования ее решения
- •1.8. Задачи
- •2. Решение задачи нелинейного программирования без ограничений
- •2.1. Необходимые условия существования безусловного экстремума функции
- •2.2. Достаточные условия существования безусловного экстремума функции
- •2.3. Классический метод поиска безусловного экстремума
- •2.4. Задачи
- •3. Решение задачи нелинейного программирования при ограничениях-равенствах
- •3.1. Метод множителей Лагранжа
- •3.1.1. Назначение и обоснование метода
- •3.1.2. Схема реализации метода множителей Лагранжа
- •3.1.3. Интерпретация множителей Лагранжа
- •3.2. Метод подстановки
- •3.3. Задачи
- •4. Решение задачи нелинейного программирования при ограничениях-неравенствах
- •4.1. Обобщенный метод множителей Лагранжа
- •4.2. Условия Куна-Таккера
- •4.2.1. Необходимость условий Куна-Таккера
- •4.2.2. Достаточность условий Куна-Таккера в задачах выпукло-вогнутого программирования
- •4.2.3. Метод Куна-Таккера решения задачи выпукло-вогнутого программирования
- •4.3. Задачи
- •5. Численные методы решения знлп
- •5.1. Понятие алгоритма
- •5.3.2. Метод сопряженных градиентов
- •Описание алгоритма
- •5.3.3. Метод Ньютона
- •5.3.4. Метод Ньютона-Рафсона
- •Литература
- •Оглавление
3.2. Метод подстановки
Метод подстановки применяется для решения ЗНЛП с ограничениями-равенствами:
при условии, что система ограничений этой задачи может быть приведена к виду
. (3.13)
Подстановка выражений (3.13) на место аргументов в целевой функции дает функцию, зависящую только от :
. (3.14)
В итоге исходная задача поиска условного экстремума сводится к задаче поиска безусловного экстремума целевой функции . Решая эту задачу классическим методом, находят экстремальные точки , после чего простыми подстановками в (3.13) получают значения m первых переменных исходной задачи: .
Пример 3.3. Получим решение задачи примера 3.1 методом подстановки. Имеем
Преобразуя систему уравнений-ограничений, приводим ее к виду
Подстановка полученных выражений для и в целевую функцию дает
После проведения упрощающих преобразований получаем ЗНЛП без ограничений
Необходимым условием существования экстремума этой функции одной переменной является условие равенства нулю ее производной в точке экстремума:
Единственная стационарная точка, являющаяся решением данного уравнения, есть . Значение второй производной в стационарной точке больше нуля: , следовательно, эта точка есть точка минимума. Подстановка в систему ограничений дает
3.3. Задачи
Выписать (в произвольной точке) функцию Лагранжа , матрицу Якоби вектор-функции ограничений и окаймленную матрицу Гессе для следующих ЗНЛП:
73.
74.
75.
Методом Лагранжа и методом подстановки найти точки условного экстремума следующих функций:
76. если
77. если
78. если
79. если
80. если
81. если
82. если
83. если
84. если
85.
если
86. если
87. если
88. если
89. если
.
90. если
91. если
92. Найти экстремум квадратичной формы при условии
93. Доказать неравенство если и
Указание. Искать минимум функции при условии
94. Доказать неравенство Гельдера
Указание. Искать минимум функции при условии
Сформулировать следующие задачи в виде задач нелинейного программирования и решить их:
95. Имеется цемент в количестве ; щебень и вода в неограниченном количестве. Требуется построить прямоугольный бассейн наибольшей вместимости. Расход цемента на единицу площади дна и стенок бассейна величина постоянная. Найти длину, высоту и глубину нужного бассейна.
96. Имеется цемент в количестве ; щебень и вода в неограниченном количестве. Требуется построить цилиндрический бассейн наибольшей вместимости. Расход цемента на единицу площади дна и стенок бассейна величина постоянная. Найти высоту и диаметр нужного бассейна.
97. Производственная функция определяется как
,
где значения факторов производства, себестоимости единицы которых равны соответственно, 20, 5 и 10 у.е. Найти максимальное значение выхода готовой продукции при условии, что ее себестоимость будет равна 6000.
98. Гражданин свой совокупный доход в размере 240 руб. тратит на приобретение картофеля и других продуктов питания. Определите оптимальный набор гражданина, если цена картофеля руб. за 1 кг, а стоимость условной единицы других благ – 6 руб. за единицу. Функция полезности гражданина имеет вид
1) 2)
99. Оптимальный набор потребителя составляет 6 ед. блага и 8 ед. блага . Определите цены потребляемых благ, если известно, что доход потребителя равен 240 руб. функция полезности потребителя имеет вид:
1) 2) 3)
100. Рациональный потребитель из всех имеющихся вариантов выбрал набор, состоящий из 20 ед. блага и 25 ед. блага . Функция полезности индивида имеет вид: располагаемый доход равен 100 руб. в месяц. Определите, как изменится доход потребителя, если новый набор содержит 10 ед. блага и 15 ед. блага , уровень цен не менялся.
101. Консервные банки, изготовляемые из жести, имеют цилиндрическую форму. Радиус основания цилиндра банки равен R см, высота банки – H см. Определить, при каких значениях R и H расход жести на изготовление консервных банок емкостью в 1 литр будет
наименьшим.
102. Производственная функция фирмы (производственная функция выражает объем выпускаемой фирмой продукции) имеет следующий вид:
,
где затраты ресурсов. Цена покупки фирмой единицы ресурсов равна 5 и 10 у.е. соответственно. Каков наибольший выпуск при общих издержках ?
103. Производственная функция фирмы имеет следующий вид:
,
где затраты ресурсов. Определить максимальный выпуск и обеспечивающие этот выпуск затраты ресурсов при условии, что .
104. Производственная функция фирмы описывается функцией Кобба-Дугласа:
,
где А=0,75 – технологический коэффициент, x– затраты капитала, y – суммарные затраты ресурсов. Найти значения величин x и y при ценах используемых ресурсов соответственно , чтобы при фиксированном объеме выпускаемой продукции обеспечивался минимум затрат , выражаемых формулой
.
При поиске решения принять ;