2.4. Задачи
Классическим методом исследовать на экстремум следующие функции и найти (если они есть) все их экстремальные точки:
49.
.
50.
.
51.
.
52.
.
53.
.
54.
.
55.
,
.
56.
.
57.
.
58.
.
59.
.
60. Прибыль P фирмы определяется функцией
где
и
значения
факторов производства. Определить
максимальную прибыль, а также значения
факторов производства, обеспечивающие
этот максимум.
61. Прибыль P некоторой фирмы определяется функцией
где и значения факторов производства. Определить максимальную прибыль, а также значения факторов производства, обеспечивающие этот максимум.
61.
Издержки
приходящиеся на единицу выпускаемой
продукции, выражается функцией:
где
–
количество (объем выпуска) этой продукции.
При каком объеме выпуска суммарные
издержки будут минимальными?
62.
Определите оптимальный для потребителя
объем блага
если известно, что функция полезности
индивида от обладания этим благом имеет
вид:
1)
2)
3)
63.
Краткосрочные общие затраты (издержки)
ТС конкурентной фирмы описываются
формулой
При каком уровне рыночной цены
эти издержки будут минимальными?
64. Автомобиль расходует
бензина
на 100 км пути, где
–
скорость автомобиля (км/час);
заданные коэффициенты, зависящие от
его ходовых свойств. Определить
крейсерские2
скорости автомобилей приведенных в
таблице марок.
-
Марка автомобиля
Значения ходовых коэффициентов
a
b
c
k
ГАЗ 31010
0,142
12
2000
0,0052
BMW
0,112
11
2100
0,0042
Volvo
0,121
10
2056
0,0047
65.
Две деревни А и В расположены
на берегу реки на расстоянии
км друг от друга, третья деревня С
находится на той же стороне реки и
удалена от деревень А, В на
расстояния соответственно
и
км. Русло реки в окрестностях деревень
прямолинейно. В каком месте следует
построить пристань, чтобы сумма расстояний
от пристани до деревень была бы
наименьшей?
66. В городе должен быть построен депозитарий крови. Потребителями крови являются три госпиталя, расположенные в точках с координатами, указанными в таблице:
-
Госпитали
Расстояние от базовой точки (км)
На восток
На север
Госпиталь №1
1
6
Госпиталь №2
7
2
Госпиталь №3
3
4
Частота обращений за кровью для всех госпиталей одинакова. Определить точку расположения депозитария из критерия минимизации суммарной длины пути по доставке крови в госпитали города.
67.
Добываемая в карьере руда автотранспортом
поставляется на металлургический
комбинат. В 30 км от карьера проходит
железная дорога, ведущая (по прямой) на
металлургический комбинат. Стоимость
перевозки 1 т. руды на 1 км для автотранспорта
руб., для железнодорожного транспорта
2 руб. В каком месте на железной дороге
следует построить станцию для перегрузки
руды и отправки далее на комбинат по
железной дороге? Расстояние от ближайшей
к карьеру точки железной дороги до
комбината равно 300 км.
68.
Берега некоторого морского пролива
описывается параболой
и прямой
Определить координаты точек на берегах,
для которых мост, связывающий эти точки,
будет иметь наименьшую длину. Какова
будет длина такого моста?
69.
Автомобильная горная дорога между
пунктами А и В описывает траекторию
а другая дорога между пунктами С и
D проходит по прямой
Требуется построить связывающий
указанные дороги путепровод, по
возможности наиболее короткий. Таким
образом, задача состоит в определении
точек на дорогах, для которых отрезок,
связывающий эти две точки, имеет
наименьшую длину.
70.
Морская береговая линия описывается
кривой
а судоходный канал проходит по прямой
Определить кратчайшее расстояние между
морем и каналом, а также координаты
точки на морском берегу и на канале,
определяющие это кратчайшее расстояние.
71. Расходы топлива теплоходом пропорциональны кубу его скорости. Известно, что при скорости в 10 км/ч расходы на топливо составляют 30 руб. в час, остальные же расходы (не зависящие от скорости) составляют 480 руб. в час. При какой скорости парохода общая сумма расходов на 1 км пути будет наименьшей? Какова будет при этом общая сумма расходов в час?
72.
Функция выручки фирмы квадратично
зависит от объема продукции
Функция издержек имеет кубическую зависимость от
Определить максимальную прибыль фирмы, а также объем выпуска продукции, обеспечивающий эту прибыль.