- •Введение
- •1. Основы математического программирования
- •1.1. Постановка задачи математического программирования
- •1.2. Разновидности змп
- •1.3. Базовые понятия и терминология математического программирования
- •1.4. Производная по направлению. Градиент
- •1.5. Касательные гиперплоскости и нормали
- •1.6. Разложение Тейлора
- •1.7. Задача нелинейного программирования и условия существования ее решения
- •1.8. Задачи
- •2. Решение задачи нелинейного программирования без ограничений
- •2.1. Необходимые условия существования безусловного экстремума функции
- •2.2. Достаточные условия существования безусловного экстремума функции
- •2.3. Классический метод поиска безусловного экстремума
- •2.4. Задачи
- •3. Решение задачи нелинейного программирования при ограничениях-равенствах
- •3.1. Метод множителей Лагранжа
- •3.1.1. Назначение и обоснование метода
- •3.1.2. Схема реализации метода множителей Лагранжа
- •3.1.3. Интерпретация множителей Лагранжа
- •3.2. Метод подстановки
- •3.3. Задачи
- •4. Решение задачи нелинейного программирования при ограничениях-неравенствах
- •4.1. Обобщенный метод множителей Лагранжа
- •4.2. Условия Куна-Таккера
- •4.2.1. Необходимость условий Куна-Таккера
- •4.2.2. Достаточность условий Куна-Таккера в задачах выпукло-вогнутого программирования
- •4.2.3. Метод Куна-Таккера решения задачи выпукло-вогнутого программирования
- •4.3. Задачи
- •5. Численные методы решения знлп
- •5.1. Понятие алгоритма
- •5.3.2. Метод сопряженных градиентов
- •Описание алгоритма
- •5.3.3. Метод Ньютона
- •5.3.4. Метод Ньютона-Рафсона
- •Литература
- •Оглавление
1.7. Задача нелинейного программирования и условия существования ее решения
Задача математического программирования
(1.25)
(1.26)
называется задачей нелинейного программирования (ЗНЛП), если целевая функция и (или) функции ограничений и в (1.26) являются нелинейными функциями.
В зависимости от вида целевой функции и системы ограничений (1.26), для решения ЗНЛП применяются различные методы. Перед началом поиска решения задачи желательно знать ответ на принципиальный вопрос о его существовании. Достаточные условия существования решения ЗНЛП с ограничениями даются следующей теоремой.
Теорема Вейерштрасса. Пусть допустимое множество задачи (1.25)-(1.26) является непустым и компактным. Тогда непрерывная целевая функция , определенная на этом множестве, достигает глобального максимума (минимума) на внутренней или граничной точке множества .
На рис. 1.2 показаны различные варианты экстремумов функции на компактном одномерном множестве – отрезке
Рис. 1.2. Графическая иллюстрация условных экстремумов
Условия теоремы Вейерштрасса нетрудно проверить, когда решается ЗНЛП с ограничениями. Если же задача не имеет ограничений, то тогда для ее решения применяют классический метод.
1.8. Задачи
Для указанных ниже функций найти все частные производные первого и второго порядка:
1. . 2. .
3. . 4. .
5. . 6. .
Для указанных ниже матриц определить, используя критерий Сильвестра, являются ли они положительно или отрицательно определенными:
7. . 8. .
9. . 10. .
11. . 12. .
Для указанных ниже функций определить, являются ли они выпуклыми или вогнутыми:
13. . 14. . 15. 16.
17. , если . 18. , если .
19. , если . 20. , если .
21. , если .
22. Найти производную функции в точке по направлению к точке .
23. Найти производную функции в точке по направлению к началу координат.
24. Найти производную функции в начале координат в направлении луча, образующего угол с осью .
25. Найти производную функции в точке по направлению к точке .
Для указанных ниже функций найти их стационарные точки:
26. . 27. .
28. . 29. .
30. . 31. .
32. .
33. .
Найти градиент и матрицу Гессе следующих функций:
34. в точке .
35. в точке .
36. в точке .
37. в точке .
38. в точке .
Разложить по формуле Тейлора следующие функции в заданной точке с точностью до производных второго порядка:
39. в точке .
40. в точке .
41. в точке .
42. в точке .
43. в точке .
44. Найти матрицу Якоби вектор-функции в точке .
45. Найти матрицу Якоби вектор-функции в точке .
46. Найти матрицу Якоби вектор-функции в точке .
47. Найти вектор нормали к гиперплоскости, задаваемой уравнением .
48. Найти вектор нормали к гиперплоскости, задаваемой уравнением .
2. Решение задачи нелинейного программирования без ограничений
Решается задача
(2.1)
Необходимо найти либо все максимумы, либо все минимумы целевой функции , либо и то и другое. Ограничений на аргумент целевой функции нет.