Тема 8. Корреляционно-регрессионный анализ

Статистические распределения характеризуются наличием более или менее значительной вариации в величине признака у отдельных единиц совокупности. Изучение зависимости вариации признака от окружающих условий и составляет содержание теории корреляции. Рассматривая зависимости между признаками, необходимо выделить прежде всего две категории зависимости: функциональные и корреляционные.

Функциональные связи характеризуются полным соответствием между изменением факторного признака и изменением результативной величины, и каждому значению признака – фактора соответствует вполне определенные значения результативного признака.

В корреляционных связях между изменением факторного и результативного признака нет полного соответствия, воздействие отдельных факторов проявляется лишь в среднем при массовом наблюдении фактических данных.

При изучении зависимости одни признаки выступают в качестве факторов (факторные признаки), другие – являются результатом влияния этих факторов (результативные признаки). Показатели степени тесноты связи дают возможность охарактеризовать зависимость вариации результативного признака от вариации признака-фактора.

Одним из показателей степени тесноты связи является линейный коэффициент корреляции.

Корреляционный анализ является одним из методов статистического анализа взаимозависимости нескольких признаков.

Основная задача корреляционного анализа – определение матрицы частных и множественных коэффициентов корреляции и детерминации.

Парный коэффициент корреляции характеризует тесноту линейной зависимости между двумя переменными. Он изменяется в пределах от 1 до +1, причем чем ближе коэффициент корреляции к 1, тем сильнее зависимость между переменными. Если коэффициент корреляции больше нуля, то связь положительная, а если меньше нуля, то отрицательная.

Исходной для анализа является матрица:

Размерности n х k, I-я строка которой характеризует i-е наблюдение по всем k показателям.

Парный коэффициент корреляции рассчитывается по формуле:

,

где r_ij – парный коэффициент корреляции, характеризующий тесноту линейной связи между показателями и .

S_j = , где S – вектор средних квадратических отклонений

X_ij - значение I-го фактора

Значимость парных коэффициентов корреляции, т.е. гипотеза H₀: ρ = 0, проверяется по t критерию Стьюдента.

Наблюдаемое значение критерия находится по формуле:

T_набл. =

Где r – оценка парного коэффициента корреляции ρ.

Проверяемый коэффициент корреляции считается значимым, т.е. гипотеза H_o: ρ = 0 отвергается с вероятностью ошибки l, если t_набл. по модулю будет больше, чем значение t_кр., определяемое по таблицам t-распределения для заданного и = . Теория корреляционного анализа основана на предположении о том, что распределение показателей носит нормальный характер.

Регрессионный анализ – это статистический метод исследования зависимости случайной величины y от переменных , рассматриваемые в регрессионном анализе как неслучайные величины независимо от истинного закона распределения .

Наиболее часто используемая множественная линейная модель регрессивного анализа имеет вид: ,

где - параметры регрессионной модели,

– случайные ошибки наблюдения, на зависимые друг от друга, имеет нулевую среднюю и дисперсию.

Коэффициент регрессии показывает, на какую величину в среднем изменится результативный признак у, если переменную увеличить на единицу измерения.

В случае парной линейной зависимости строится регрессионная модель:

,

где i=1,…,n, n- число наблюдений,

b₀, b₁ – неизвестные параметры уравнений,

- ошибка случайной переменной Y.

Уравнение регрессии записывается как:

Параметры уравнения регрессии оцениваются с помощью метода наименьших квадратов и находятся по формулам:

, .

В₁ – коэффициент регрессии. Он показывает на сколько в среднем изменится результативный признак при изменении факторного на 1 единицу.