Простое отношение трех точек. Формулы деления отрезка в данном отношении.

Если различные точки А, В, С лежат на одной прямой, то простым отношением (АВ, С) этих точек называется такое число λ = (АВ,С), что выполняется равенство АС = λ СВ. В этом случае говорят, что точка С делит отрезок АВ в отношении λ.

Если дана система координат и А(х₁,у₁), В(х₂,у₂), С(х,у), а (АВ,С) = λ , то

х = (х₁ + λ х₂) : (1 + λ), у = (у₁ + λ у₂) : (1 + λ).

1О8. Точка С лежит на отрезке АВ и АС : СВ = 2 : 3. 1) Найти простое отношение (АВ,С), 2) Зная координаты точек А(1,1) и В(2,-1) найти координаты точки С.

109. о------о------о------о------о------о------о

А В Д М

Точки В и Д лежат на отрезке АМ и АВ : ВМ = 1 : 2, АД : ДМ = 5 : 1.

Найти простые отношения трех точек 1) (АМ,В), 2) (АВ,М), 3) (ВД,М),

4) (ДМ,А), 5) (МВ,Д).

110. Точки А, В, Д, М расположены так же, как в задаче 108. Зная координаты точек В(1,4) и Д(-6,2), найти координаты точек А и М, используя формулы деления отрезка в данном отношении.

111. (АВ,С) = 2. Зная координаты точек В(1,2), С(3,5), найти координаты точки А.

ЗАДАЧА № 19

Зная координаты вершин А(х₁,у₁), В(х₂,у₂), С(х₃,у₃) треугольника АВС, найти координаты точки М пересечения медиан АА₁, ВВ₁, СС₁ .треугольника АВС.

РЕШЕНИЕ

1) Найдем координаты А₁- середины стороны ВС.

А1( (х₂ +х₃)/2, (у₂ +у₃)/2).

2) Так как меди анны треугольника пересекаются в одной точке М и делятся в ней в отношении 2:1, начиная от вершин, то АМ : МА1 = 2:1. Отсюда следует, что (АА₁,М) = 2.

3) Пусть координаты М(х,у), тогда по формулам деления отрезка в данном отношении получаем, что х = (х₁ + х₂ + х₃)/3, у = (у₁ + у₂ + у₃)/3.

ОТВЕТ. Координаты точки пересечения медиан треугольника АВС

М( (х₁ + х₂ + х₃)/3, (у₁ + у₂ + у₃)/3 ).

112. Дан треугольник АВС А(2,-3), В(4,5), С(0,7). Найти

1) координаты А1, В1, С1 середин ВС, СА, АВ, 2) координаты Р середины АА₁, 3) координаты точки М пересечения медиан треугольника АВС.

113. Дан треугольник АВС А(3,6), В(-3,5). Найти координаты точки С, зная, что середина АС лежит на оси ОХ, а середина ВС лежит на оси ОУ.

114. Зная координаты вершин треугольника АВС А(5,-4), В(-1,2), С(5,1) в прямоугольной декартовой системе координат, найти длину медианы АМ.

115. Найти координаты вершин треугольника АВС, если середины его сторон АВ, ВС, СА – это точки М(3,-2), Р(1,-6), К(-4,2).

116. Даны две вершины А(-9/2, -7) и В(2,6) параллелограмма АВСД и точка М(21/2, 10) пересечения его диагоналей. Найти координаты вершин С и Д.

117. Зная координаты А(4,1), В(7,5), С(-4,7) вершин треугольника АВС в прямоугольной декартовой системе координат, найди координаты точки Д, где АД – биссектриса треугольника АВС.

118. Найти длину биссектрисы ВК треугольника АВС, зная координаты его вершин А(7,5), В(4,1), С(-4,7) в прямоугольной декартовой системе координат.

ЗАДАЧА № 20

М – точка пересечения диагоналей четырехугольника АВСД. Найти координаты точки М, если А(3,-2), В(3,0), С(0,4), Д(2,1).

РЕШЕНИЕ.

1) Так как точка М лежит и на отрезке АС, и на отрезке ВД, то точка М делит отрезок АС в простом отношении α, а отрезок ВД в простом отношении β., т.е. (АС,М) = α, (ВД,М) = β.

2) Пусть точка М имеет координаты М(х,у). Используя простое отношение (АС,М) = α, находим координаты точки М

х = (3 + 0 α) / (1 + α), у = (-2 + 4 α) / (1 + α) (1)

3) Используя простое отношение (ВД,М) = β, находим координаты М

х = (3 + 2 β) / (1 + β), у (0 + 1 β) / (1 + β) (2)

4) Из формул (1) и (2) следует, что

3 / (1 + α) = (3 + 2 β) / (1 + β),

(-2 + 4 α) / (1 + α) = β / (1 + β) .

Из первого из этих уравнением получаем, что α = β / (3 + 2 β). Подставляя это выражение α во второе уравнение, получаем β = -2. По формулам (2) находим координаты точки М(1,2)

ОТВЕТ. М(1,2).

119. Найти координаты точки пересечения диагоналей четырехугольника АВСД, если А(0,3), В(3,-5), С(6,-12), Д(1,1).

120. АН – высота треугольника АВС. Зная координаты точек А(1,4), В(1,1), С(4,7) в прямоугольной декартовой системе координат, найти координаты точки Н.

121. Дана прямоугольная декартова система координат. А(-1,4), С(7,-2). Найти координаты вершин В и Д квадрата АВСД.