Задачи на множества точек, определяющих окружность
ЗАДАЧА № 26
Найти множество точек плоскости, отношение расстояний от каждой из которых до данных точек А и В равно постоянному положительному числу а, не равному единице.
РЕШЕНИЕ
1) Пусть расстояние между точками А и В равно с. Введем прямоугольную декартову систему координат (В, i, j), для которой вектор i сонаправлен с вектором ВА. В этой системе координат данные точки имеют следующие координаты А(с,0), В(0,0).
2) Пусть произвольная точка М, принадлежащая данному множеству точек, имеет координаты М(х,у). По условию .│АМ│: │ВМ│.= а, отсюда следует, что .│АМ│ = а │ВМ│. Используя формулу расстояния между двумя точками, получаем уравнение
_______________ ______________
√ (х – с)2 + (у – 0)2 = а √ (х - 0)2 + (у – 0)2 или
(х – с)2 + у2 = а2 х2 + а2у2 , отсюда получаем
х2(1 – а2) + у2(1 – а2) – 2хс + с2 = 0. Так как а 1, то можно разделить обе части этого уравнения на 1 – а2 и выделить полный квадрат членов, содержащих х
х2+ у2 – 2хс / (1 – а2) + с2 / (1 – а2) = 0.
[х – с / (1 – а2)]2 + у2 = а2с2 / (1 – а2)2. Полученное уравнение является уравнение окружности с центром в точке М(с / (1 – а2), 0) и радиуса
r = ас /│1 – а2│.
Таким образом, искомое множество точек есть окружность с центром на прямой АВ.
ОТВЕТ. Множество точек плоскости отношение расстояний от каждой из которых до данных точек А и В равно постоянному положительному числу а , не равному единице есть окружность с центром на прямой АВ.
170. Найти множество точек плоскости, для каждой из которых отношение расстояний до точек А(1,0) и В(-1,0) постоянно и равно .
171. Найти множество точек плоскости, сумма квадратов расстояний от каждой из которых до двух данных точек А и В постоянна и равна с2.
172. Найти уравнение множества точек плоскости, для каждой из которых сумма квадратов расстояний до точек А(-1,2) и В(1,4) постоянна и равна 22.
173. Найти множество точек плоскости, для каждой из которых сумма квадратов расстояний до двух данных перпендикулярных прямых постоянна и равна 16..
174. Найти множество точек плоскости, для каждой из которых разность квадратов расстояний до точек А(0,0) и В(4,0) постоянна и
равна 2.
Примерные варианты самостоятельной работы (на 45 мин.)
Варианты первого уровня.
1. Дана система координат (О, е1,е2). Построить точки М(-2,3), Р(-3/2, 5/3). 2. Даны две системы координат І =(О, е1,е2), ІІ= (О’, е1’,е2’). О’О = е1 +е2 , е1’(3,5) е2’(7,-4). Составить формулы преобразования координат при переходе от І к І І. 3. Доказать, что четырехугольник АВСД параллелограмм, если А(1,1) В(3,4,), С(5,0), Д(3,-3). |
1. АВСД – параллелограмм с центром О. Точка М АД и АМ : МД = 1 : 2. Найти координаты точки М в системе координат (О, ОВ, ОС) 2. Даны две системы координат І =(О, е1,е2), ІІ= (О’, е1’,е2’). О’(4,-5)І, е1’= 3е1 + 8е2 е2’= -2е1 – ½ е2. Составить формулы преобразования координат при переходе от І к І І. 3. Даны точки А(1,0), В(4,1), С(4,5), Д(-2,3). Доказать, что АВСД – трапеция. |
Варианты второго уровня
1. Дана (О,i,j ). А(3,3), В(4,5), С(7,6), Д(5,2) Определить вид четырехугольника АВСД. 2. АВСД – параллелограмм. Р – середина ВС. I =(В,ВМ,ВР), II = (А,АВ,АД). Составить формулы преобразования координат при переходе от первой системы координат ко второй. 3. Дана полярная система координат (О,i,). Построить множество точек, удовлетворяющее уравнению φ = 60°. |
1. Дана (О,i,j ). А(3,3), В(5,2), С(7,6), Д(5,7) Определить вид четырехугольника АВСД 2. . АВСД – параллелограмм. Р – середина ВС.I =(Р,РМ,РВ), II = (Д,ДВ,ДА). Составить формулы преобразования координат при переходе от второй системы координат в первой. 3. Дана полярная система координат (О,i,). Построить множество точек, удовлетворяющее уравнению ρ = 2
|
Варианты третьего уровня.
1.Дан четырехугольник АВСД. А(1,1), В(0,3), С(5,5), Д(4,1). Найти координаты точке М = АС ВД. 2. . АВСД – параллелограмм. Р – середина ВС. I =(В,ВМ,ВР), II = (А,АВ,АД) Существует ли точка с одинаковыми координатами в I и II системах координат. 3. Даны системы координат I = (О,i,j ) и II=(О,i,). А(-5,3) в I системе координат , найти уравнение окр-ти ώ(А, r = 3) во II системе координат |
1.Дана прямоугольная
декартова система координат. А(1,1),
В(2,3). АВСД – трапеция: АВ ││СД,
А
= 90°, ДС = 2 2. . АВСД – параллелограмм. Р – середина ВС. I = (Д,ДС,ДР), II = (В,ВС,ВА) . Зная координаты точки М(3,1) в I системе координат, найти координаты точки М во II системе координат 3. Дана система координат (О,i,). F: 2ρ2 - 8 ρ cosφ + 8 ρ sinφ = 3. Определить вид F. |
.
Найти координаты точек С и Д.