Окружность
Окружностью (Мо, r) с центром Мо и радиусом r называется множество всех точек М плоскости, расстояние от каждой из которых до точки Мо равно радиусу r.
Дана прямоугольная декартова система координат (О, i, j) , Мо(хо, уо) , тогда уравнение окружности (Мо, r) имеет вид
(х – хо)2 + (у – уо)2 = r2
Если дано уравнение х2 + у2 + Ах + Ву + С =0, то чтобы узнать является ли это уравнение уравнением окружности, надо выделить полные квадраты членов .содержащих х, и членов, содержащих у, получится уравнение
(х + ½ А) 2 + (у + ½ В)2 = ¼ А2 + ¼ В2 –С. (*)
Уравнение (*) является уравнением окружности, если
¼ А2 + ¼ В2 –С > 0.
Во всех задачах этого пункта система координат прямоугольная декартова.
158. Составить уравнение окружности с центром А(-1, 3) и радиусом
r = 4.
159. Составить уравнение окружности радиуса r =5 с центром в начале координат.
160. Определить координаты центра М и радиус каждой из следующих окружностей:
1) х2 + у2 – 6х = 0,
2) х2 + у2 + 6х - 8у =0,
3) х2 + у2 – 10х + 24у – 56 = 0,
4) 3х2 + 3у2 + 6х - 4у – 1 = 0.
161. Выяснить, какие из данных уравнений являются уравнением окружности. Найти координаты центра и радиус.
1) х2 + у2 -2х + 4у -20 = 0,
2) х2 + у2 + 8х - 4у + 40 = 0,
3) х2 + ху – 2х = 0,
4) х2 + 2ху + 2у2 - 3х + у + 5 = 0,
5) х2 + у2 - 2х = 0,
6) х2 + у2 + 2у + 8 = 0,
7) х2 + у2 - 4х -2у + 1 = 0.
162. Определить положение точек А(3,1), В(1,0), С(-2,0), Д(-2,1) относительно окружности х2 + у2 - 1 = 0.
163. Как расположены на плоскости точки, координаты которых удовлетворяют условиям
1) (х – 1 )2 + (у – 3)2 ≥ 25,
2) 16 ≤ (х – 1)2 + (у + 3)2 ≤ 25.
3) (х – 1)2 + (у - 2)2 ≤ 25, (х – 4)2 + (у -6)2 ≤ 9.
ЗАДАЧА № 25
Дана прямоугольная декартова система координат. Составить уравнение окружности, касающейся оси ОХ в точке А(4,0) и проходящей через точку В(1,1).
РЕШЕНИЕ
1) Пусть центр искомой окружности находится в точке М(х,у). Так как окружность касается оси ОХ в точке А(4,0), то МА это радиус проведенный в точку касания, следовательно, по свойству касательной окружности радиус МА перпендикулярен оси ОХ. Значит проекцией точки М на ось ОХ является точка и поэтому х = 4, т.е. М(4,у).
2) Так как данная окружность проходит через точки А и В, то расстояние от точек А и В до центра равны радиусу и, следовательно, равны между собой, т.е. │АМ│ =│ВМ│. Отсюда получаем уравнение
______________ ______________
√(4 – 4)2 + (у – 0)2 = √(4 – 1)2 + (у - 1)2 или у2 = 9 + (у – 1)2
Это уравнение имеет одно решение у = 5. Следовательно, центр окружности М(4,5).
3)Радиус окружности равен расстоянию от центра до точки А, т.е.
______________
r = │АМ│= √(4 – 4)2 + (5 – 0)2 = 5.
4) Уравнение окружности с центром М(4,5) и радиусом r = 5 имеет вид (х – 4)2 + (у – 5)2 = 25
ОТВЕТ. Искомая окружность имеет уравнение (х – 4)2 + (у – 5)2 = 25.
.
164.Составить уравнение окружности, касающейся оси ОХ в точке (6,0) и проходящей через точку (9,9).
165. Составить уравнение окружности, центр которой лежит на оси ОУ и которая касается оси ОХ.
166. Составить уравнение окружности, проходящей через начало координат и через точки А(-1,-1) и В(7, -1).
167. Составить уравнение окружности с центром в точке А(1,-3) и проходящей через точку В(3,5).
168. Составить
уравнение окружности радиуса r
=
,
проходящей через точки А(2,7) и В(-2,1).
169. Составить уравнение окружности, проходящей через точки А(2,2) и В(3,3), если ее центр лежит на прямой 3х - у - 3 = 0.