Ориентация плоскости. Угол между векторами на ориентированной плоскости.

В двумерном векторном подпространстве Ẁ₂ даны два базиса

I = {е₁, е₂} и II = {е₁^’, е₂^’ }. Известны координаты базисных векторов второго базиса в первом базисе: е₁^’(а,b)_I , е₂^’(c,d) _I. Определителем перехода от базиса I ={е₁, е₂} к базису II ={е₁^’, е₂^’ } называется определитель ∆, составленный из координат векторов е₁^’, е₂^’

в базисе е₁, е_2.

│а b│

∆ = │c d│ .

Определитель перехода от базиса I ={е₁, е₂} к базису II ={е₁^’, е₂^’} будем обозначать так: I / II.

Пусть даны любые три базиса I, II, III. Определители перехода обладают следующими свойствами:

1°) I / II 0,

2°) I / I = 1,

3°) I / II = 1 : (II / I),

4°) (I / II) ( II / III) = I / III .

Множество всех базисов двумерного векторного подпространства Ẁ₂ разбивается на два непустых непересекающихся подмножества так, что для любых двух базисов из одного подмножества определитель перехода от одного из этих базисов к другому положителен, а для любых двух базисов из разных подмножеств определитель перехода от одного из этих базисов к другом отрицателен. Каждое из этих подмножеств называется ориентацией двумерного векторного подпространства. Двумерное векторное подпространство называется ориентированным, если зафиксирована одна из его ориентацией и названа положительной, а все базисы из неё правыми, тогда вторая ориентация называется отрицательной, а все базисы из неё левыми.

Если на плоскости выбрать две точки О₁ и О₂ и отложить от О₁ векторы О₁Е₁ = е₁ и О₁Е₂ = е₂ , а от О₂ векторы О₂Е₁’ = е₁’ и О₂Е₂’ = е₂’, то если данные базисы принадлежат одной ориентации, то повороты от вектора О₁Е₁ к вектору О₁Е₂ и от вектора О₂Е₁’ к вектору О₂Е₂’ происходят в одном направлении, а если базисы принадлежат разным ориентациям, то эти повороты происходят в разных направлениях.

Рис 1.

На рисунке 1 изображены базисы из одной ориентации

Рис. 2

На рисунке 2. изображены базисы из разных ориентаций.

Плоскость называется ориентированной, если соответствующее векторное двумерное подпространство (т.е. множество всех векторов, параллельных этой плоскости) ориентировано. Тогда, если базис е₁, е₂ – правые (левый) , то и система координат (О, е₁, е₂) правая (левая).

Направленным углом между неколлинеарными векторами а и b на ориентированной плоскости называется угол между этими векторами, взятый со знаком плюс, если базис {а, b} - правый и со знаком минус, если базис {а, b} – левый.

Если в правом ортонормированном базисе даны координаты векторов а(а₁, а₂) и b(b₁,b₂) и φ – направленный угол между ними, то

___а₁b₁ + a₂b_{2_____}

cos φ = √a₁² + a₂² √b₁² + b₂² ,

___а₁b₂ - a₂b_{1_____}

sin φ = √a₁² + a₂² √b₁² + b₂²

122. М – точка пересечения диагоналей параллелограмма АВСД . Базис {АВ, АС} принадлежит положительной ориентации. Какой ориентации принадлежат базисы 1) {ДА, ДС}, 2) {МА, МВ}, 3) {ВА, ВС} ?

123. О – точка пересечения медиан треугольника АВС. Базис {ОА, ОВ} – правый. Перечислить все правые и все левые базисы, связанные с этим треугольником.

124. Дан базис {е₁, е₂} и векторы а(1,-1), в(2,3), с(0,4), d(-5,1)

Вычислить определители перехода 1) от базиса {е₁, е₂} к базису {а,в},

2) от базиса {а,в} к базису {с,d}.

125. Зная координаты векторов а и в в правом базисе {е₁, е₂}, определить является ли базис {а, в} правым или левым

1) а(2,3), в(4,-1). 2) а(-1,0), в(0,-1), 3) а(3,1), в(2,1) 4) а(2,8), в(3,-2).

126. Дан квадрат АВСД и базисы Ι = {СВ, СД}, Ι Ι = {ВД, ВС},

Ι Ι Ι = {ДС, ДА}. Вычислить определители перехода от базиса Ι к базису

Ι Ι и от базиса Ι к базису Ι Ι Ι. Зная, что базис Ι правый, определить какими будут базисы Ι Ι и Ι Ι Ι.

127. АВСДEF – правильный шестиугольник. Даны базисы Ι = {АВ,АF},

Ι Ι ={ЕF, ЕВ}, Ι Ι Ι = {СF, СД}. Проверить, что определители перехода удовлетворяют условию (Ι│ Ι Ι) (Ι Ι │ Ι Ι Ι) = (Ι │ Ι Ι Ι).

128. Найти направленный угол между векторами а и в, зная их координаты в ортонормированном правом базисе 1) а(-1,2), в(-1,-3),

2) а(-1,2), в(1,3), 3) а(- , 3), в(0,1).

129. Зная координаты вершин треугольника АВС в ортонормированном правом базисе, найти наибольший направленный угол этого треугольника.

1) А(5,2), В(1,-1), С(-6,3), 2) А(4,8), В(10,6), С(-2,1).

130. Найти координаты вектора а в ортонормированном правом базисе

(i, j), если 1)│а│ = 3, направленный угол (i,а) равен 30°,

2) │а│ = 5, направленный угол (i,а) равен 135°,

3) │а│ = 1, направленный угол (i,а) равен -60°.