Полярная система кординат

Полярной системой координат на ориентированной плоскости называется объединение точки О и единичного вектора i, (О, i).

Полярными координатами любой точки М О в полярной системе координат (О, i) называются два числа М(ρ,φ) ρ = │ОМ│, φ – направленный угол между векторами ОМ и i.

Если (О, i, j) – прямоугольная декартова система координат, а (О, i) – полярная система координат, то полярные координаты точки М(ρ,φ) и прямоугольные декартовы координаты этой же точки М(х,у) связаны формулами

______ __x___ __у___

ρ = √ х² + у² , cos φ = √ х² + у² , sin φ = √ х² + у² .

х = ρ cos φ , у = ρ sin φ .

131. Дана полярная система координат. Построить точки А(2, π /2),

В(1, -π/4), С(1/2, 5 π/3).

132. Найти полярные координаты точек, симметричных точкам

А(1, π/4), В(3, 2π/3), С(2/3, - π/6) относительно 1) начала координат О,

3. полярной оси (О, i ).

133. Дан равносторонний треугольник АВС с центром О и единичной стороной. Найти координаты точек А, В, С в полярной системе координат 1) (О, i ), где i ↑↑ ОА, 2) (А, i), где i↑↑АВ.

134.Дан квадрат АВСД с центром О. АВ = 3. Найти координаты вершин квадрата в полярной системе координат 1) (О, i ), где i ↑↑ АВ,

2) (О, i), где i↑↑ОА, 3) (О, i ), где i ↑↑ АД.

135. Дан правильный шестиугольник АВСДEF с центром О и стороной АВ = 2. Найти координаты вершин шестиугольника в полярной системе координат 1) (О, i ), где i ↑↑ ОА, 2) (А, i), где i↑↑АО.

136. Найти множество всех точек плоскости, полярные координаты которых удовлетворяют уравнению 1) ρ = 1, 2) ρ= а, 3) φ = 60°.

137. Даны полярная система координат (О, i) и правая прямоугольная декартова система координат (О, i, j). 1) Найти прямоугольные декартовы координаты точек А(5, π/3) , В(1, - π/2), С(1/2, 3 π/4).

2) Найти полярные координаты точек М(0,6), Р(-1,1), К( ,1).

ЗАДАЧА № 21

Дана полярная система координат и две точки А(ρ₁, φ₁), В(ρ₂,φ₂).

Найти расстояние между этими точками.

РЕШЕНИЕ.

Рассмотрим правую прямоугольную декартову систему координат

(О, i, j). Найдем прямоугольные декартовы координаты точек А и В, используя формулы х = ρ Cos φ, у = ρ Sin φ .Получим

А(ρ₁ Cos φ₁, ρ₁ Sin φ₁), В(ρ₂ Cos φ₂, ρ₂ Sin φ₂). Теперь найдем расстояние между точками А и В в системе координат (О, i, j).

________________________________________

│АВ│= √( ρ₁ Cos φ₁ - ρ₂ Cos φ₂)² + (ρ₁ Sin φ₁ - ρ₂ Sin φ₂)² =

______________________________________________________________

√ρ₁²(Cosφ₁ +Sinφ₁)² + ρ₂²(Cosφ₂ +Sinφ₂)² - 2ρ₁ ρ₂(Cos φ₁Cos φ₂ + Sinφ₁Sinφ₂)

_________________________

=√ ρ₁² + ρ₂² - 2ρ₁ ρ₂Cos (φ₁ – φ₂)

________________________

ОТВЕТ │АВ│= √ρ₁² + ρ₂² - 2ρ₁ ρ₂Cos (φ₁ – φ₂)

138. Вычислить расстояние между точками А и В в полярное системе координат 1) А(2, π/12), В(5, π/12), 2) А(4, π/3), В(6, -4 π/5), 3)А(3, 11π/18),

В(4, π/9).

139.Зная полярные координаты вершин треугольника А(5, π/2), В(8,5π/6), С(3, - 5 π/6), доказать, что треугольник равносторонний.

140. Зная полярные координаты вершин треугольника А(2 , π/3), В( ,2π/3), С(4 + , 2π/3), доказать, что треугольник прямоугольный.

ЗАДАЧА № 22

Определить, какое множество в полярной системе координат задано уравнением Cos φ = Sin φ.

РЕШЕНИЕ

Перепишем данное уравнение в прямоугольных декартовых

координатах. Для этого используем формулы

_____ _______

Cos φ = х/√х² + у², Sin φ = у/√х² + у² .

Тогда данное уравнении Cos φ = Sin φ в полярных координатах будет

_____ _____

иметь вид х/√х² + у² = у/√х² + у² в прямоугольных декартовых координатах , отсюда следует, что х = у.

Уравнение х = у в прямоугольных координатах задает прямую, содержащую биссектрису угла между осями ОХ и ХУ.

Таким образом, данное уравнение Cos φ = Sin φ в полярной системе координат задает прямую, проходящую через начало полярной системы координат и составляющую угол π/4 с полярной осью [О, i). ■

141. В полярной системе координат составить уравнение окружности

с центром А(1, π/2) и радиуса 3.

142. Найти множество точек, уравнение которого в полярной системе координат, имеет вид 1) ρ Cos φ = 2, 2) ρ = 10 Sin φ , 3) ρ Sin φ = 1,

4) Sin φ = .

ЗАДАЧА № 23

В правой прямоугольной декартовой системе координат (О, i, j)., дано уравнение прямой х + 2у + 5 = 0. Найти уравнение этой прямой в полярный системе координат (О, i).

РЕШЕНИЕ

Используя формулы, связывающие прямоугольные координаты точки и ее полярные координаты х = ρ Cos φ, у = ρ Sin φ, запишем уравнение данной прямой в полярных координатах.

ρ Cos φ + 2ρ Sin φ + 5 = 0.

ОТВЕТ. ρ Cos φ + 2ρ Sin φ + 5 = 0.

143. Даны правая прямоугольная декартова система координат(О, i, j), и полярная система координат (О, i).

Записать в полярной системе координат уравнения множеств точек, которые в прямоугольной декартовой системе координат имеют уравнения: 1) х – 3у = 0, 2) у + 5 = 0, 3) 2х² + у² = 5, 4) 4х – у² = 0 .

ПРЕОБРАЗОВАНИЕ КООРДИНАТ ТОЧЕК НА ПЛОСКОСТИ.

На плоскости даны две системы координат Ι = (О, е₁,е₂) и

Ι Ι = (О’, е₁’, е₂’). О’(х_о,у_о) _Ι, е₁’(а,b) _(е1,е2) , е₂’(c,d) _(е1,е2) . Если любая точка плоскости М имеет в первой системе координат координаты М(х,у), а во второй системе координат координаты М(х’,у’), то формулы, связывающие координаты точки М в первой и во второй системах координат, имеют вид

х = а х’ + с у’ + х_о,

у = bx’ + d у’ + у_о . (1)

Эти формулы называются формулами преобразования координат.

Отметим, что в этих формулах столбец из коэффициентов при х’- это координаты вектора е₁’, столбец из коэффициентов при у’- это координаты вектора е₂’, а столбец из свободных членов – это координаты точки О’

Если даны две прямоугольные декартовы системы координат, принадлежащие одной ориентации, то формулы преобразования координат, при переходе от первой системы координат ко второй, имеют вид

х = х’ cos φ - y’ sin φ + х_о,

y = x’ sin φ + y’ cos φ + у_о . (2)

Если даны две прямоугольные декартовы системы координат, принадлежащие разным ориентациям, то формулы преобразования координат, при переходе от первой системы координат ко второй, имеют вид

х = х’ cos φ + y’ sin φ + х_о,

y = x’ sin φ - y’ cos φ + у_о. (3)

В формулах (2) и (3) φ – это направленный угол между векторами i и i’.

Формулы (2) и (3) называются формулами преобразования прямоугольных декартовых координат.

144. Даны две системы координат Ι = (О, е₁,е₂) и Ι Ι = (М, е₁, е₂).Зная координаты точек А(2,3), В(-5,4), С(0,2), М(7,-1) в системе координат Ι, найти координаты точек А, В, С в системе координат Ι Ι.

145. АВСД – прямоугольник. Составить формулы преобразования координат при переходе от системы координат (А, АВ, АД) к системе координат (С, СА, ½ СВ).

146. Составить формулы преобразования координат при переходе от системы координат Ι = (О, е₁,е₂) к системе координат Ι Ι = (Оٰ , е₁ٰ ,е₂ٰ ).

1) Оٰ (0,2), е₁ٰ (0,2), е₂ٰ (-7,0),

2) Оٰ (1,1), е₁ٰ (1,4), е₂ٰ (2,5).

147. О – почка пересечения медиан треугольника АВС. Составить формулы преобразования координат при переходе от системы координат (О, ОА, АВ) к системе координат (А, АВ, АС).

148. Составить формулы преобразования координат при переходе от системы координат Ι = (О, е₁,е₂) к системе координат Ι Ι = (Оٰ, е₁ٰ ,е₂ٰ ), зная координаты точки О в Ι системе координат О(1,0) и координаты векторов е₁,е₂ в базисе (е₁ٰ ,е₂ٰ ) е₁(1,1), е₂(0,2).

149. Даны две системы координат Ι = (О, е₁,е₂) и Ι Ι = (О, е₁ٰ ,е₂ٰ ) с общим началом. Даны координаты е₁(1,-1) ,е₂(2,5) в базисе ( е₁ٰ ,е₂ٰ ). Зная координаты точки М(-3,1) в системе координат Ι , найти координаты этой точки в системе координат Ι Ι .

150. Дан параллелограмм АВСД с центром О и две системы координат Ι = (А, АС, АД), Ι Ι = (О, ОД, ОА). Составить формулы преобразования координат при переходе от системы координат Ι к системе координат Ι Ι.

151. Записать формулы преобразования координат при переходе от системы координат (О, i, j) к системе координат (Оٰ, i ٰ ,j ٰ ) в каждом из следующих случаев:

1) i ٰ = i + j, Оٰ (-3, ) и обе системы координат принадлежат одной ориентации.

2) Направленный угол между векторами i и i ٰ равен 30° , Оٰ (0,-2) и данные систем ы координат принадлежат разным ориентациям.

152. АВСД – квадрат с центром О и единичной стороной. Даны две системы координат Ι = (А, АВ, АД) и Ι Ι =(О, i ٰ ,j ٰ ) , где i ٰ ↑↑ ОД ,

j ٰ ↑↑ ОС. Точка имеет координаты М( ,3 ) во Ι Ι системе координат. Найти координаты точки М в Ι системе координат.

ЗАДАЧА № 24

АВСД – параллелограмм с центром М. Выяснить существуют ли точки, имеющие одинаковые координаты в двух системах координат (В, ВС, ВД) и (М, МА, МВ).

РЕШЕНИЕ

1) Найдем координаты точки М в первой системе координат. Так как

ВМ = ½ ВД, то М(0,1/2)

2) Найдем координаты векторов МА и МВ в базисе (ВС, ВД)

МА = МД + ДА = ½ ВД – ВС, следовательно, МА(-1,1/2)

МВ = -1/2 ВД, следовательно МВ(0, -1/2)

3) Составим формулы преобразования координат при переходе от первой

системы координат ко второй

х = -хٰ + 0 уٰ + 0

у = ½ хٰ - ½ уٰ + ½ (1)

4) Найдем точки, которые имеют одинаковые координаты в данных системах координат, т.е. точки, для которых х = хٰ, у = уٰ . Для этого в формулах подставим вместо хٰ - х, а вместо уٰ - у, получим систему уравнений

х = -х

у = ½ х – ½ у + ½ .

Эта система имеет единственное решение х = 0, у = 1/3, Следовательно, существует единственная точка М(0, 1/3), имеющая одинаковые координаты в двух данных системах координат.

ОТВЕТ. М(0, 1/3)

153. В треугольнике АВС О – точка пересечения медиан. Найти точки, имеющие одинаковые координаты в системах координат (А, АВ, АС) и (О, ОВ, ОС).

154. АВСДEF – правильный шестиугольник. Зная координаты точки М(2,1) в системе координат (А, АВ,АД),, найти координаты точки М в системе координат (С, СВ, СД).

155. АВСДEF – правильный шестиугольник с центром О. Даны две системы координат Ι = (В, ВС, ВА) и Ι Ι = (Е, ЕО, ЕД). Зная координаты точки М(4,3) во Ι Ι системе координат, найти координаты точки М в Ι системе координат.

156. АВСД – квадрат с центром О. Существуют ли точки, имеющие одинаковые координаты в системах координат (С, СД, СВ) и (О, ОА,ОД)?

157. ОС – высота прямоугольного треугольника ОАВ с катетами

ОА = 3, ОВ = 1. М – середина АВ. Составить формулы преобразования координат при переходе от систему координат (О, i, j) к системе координат (М, i ٰ , j ٰ ), где ,i ↑↑ОА , j ↑↑ОВ, , i ٰ↑↑ МА, j ↑↑ СО.