Смешанное и векторное произведения векторов Теоретический опрос

Знать определения: параллелепипед, построенный на трех вектора; смешанное произведение трех векторов;, параллелограмм построенный на двух векторах; векторное произведение двух векторов.

Знать свойства: свойства смешенного произведения трех векторов, свойства векторного произведения двух векторов.

Знать формулы: объем параллелепипед, объем треугольной призмы, объем тетраэдра, расстояние между скрещивающимися прямыми, площадь параллелограмма, площадь треугольника, расстояние от точки до прямой.

Если в параллелепипеде АВСД А₁В₁С₁Д₁ векторы АВ = а, АД =b, АА₁ = с, то будем говорить, что этот параллелепипед построен на векторах а, b, с.

Смешанным произведением трех некомпланарных векторов а, b, с называется число, равное объему параллелепипед, построенного на этих векторах, и взятое со знаком плюс, если { а, b, с } – правый базис и со знаком минус, если { а, b, с } – левый базис.

Смешенным произведением трех компланарных векторов называется число ноль.

Смешенное произведение обозначается так: а b с.

Если в базисе { е₁,е₂,е₃} даны координаты векторов а(а₁,а₂,а₃), b(b₁, b₂, b₃), с(с₁,с₂,с₃), то смешенное произведение этих векторов равно определителю третьего порядка, составленного из координат этих вектору, умноженному на смешанное произведение базисных векторов е₁,е₂,е₃

│ а₁ а₂ а₃ │

а b с = │ b₁ b₂ b₃ │( е₁ е₂ е₃)

│ с₁ с₂ с₃ │

Если в правом базисе { i, j, k} даны координаты векторов а(а₁,а₂,а₃),

b(b₁, b₂, b₃), с(с₁,с₂,с₃), то смешенное произведение этих векторов равно определителю третьего порядка, составленного из координат этих вектор

Свойства смешанного произведения

Для любых векторов а, b, с, d и любых чисел α и β

1º) а b с = - b а с, а b с = - а с b, а b с = - с b а.

а b с = b с а = с а b

2º) (α а) b с = а (α b) с = а b (α с) = α (а b с),

3º) (а + d) b с = а b с + d b с,

а ( b + d) с = а b с + а d с,

а b ( с + d) = а b с + а b d.

Если в параллелограмме АВСД векторы АВ = а,

АД =b, то будем говорить, что этот параллелограмм построен на векторах а, b.

Векторным произведением двух неколлинеарных векторов а и b называется вектор с , удовлетворяющим следующим условиям:

1. Длина вектора с равна площади параллелограмма, построенного на векторах а и b.

2. Вектор с перпендикулярен и вектору а, и вектору b.

3. {а, b, с} – правый базис.

Векторным произведением двух коллинеарных векторов называется нулевой вектор.

Векторное произведение векторов а и b обозначается

так: [а b ]

Смешанное произведение векторов а b с равно скалярному произведению векторного произведение векторов а и b и вектора с

а b с = [а b ] с.

Если в правом базисе { i, j,k} даны координаты векторов

а(а₁,а₂,а₃), b(b₁, b₂, b₃), то векторное произведение этих векторов [а b ] = с имеет следующие координаты: с(с₁,с₂,с₃)

│ а₂ а₃ │ │ а₃ а₁ │ │ а₁ а₂ │

с₁ = │ b₂ b₃ │, с₂ =│ b₃ b₁ │, с₃ = │ b₁ b₂│

Для нахождения координат векторного произведения будем применять условную запись

│ i j k │

[а b ] = │ а₁ а₂ а₃ │

│ b₁ b₂ b₃ │

Свойства векторного произведения

Для любых векторов а, b, с и любого числа α

1º) [а b ] = - [b а ],

2º) [ (α а) b] = [а (α b) ] = α [а b] ,

3º) [ (а + с) b] = [а b] +[с b] .

Из определения смешанного и векторного произведения следуют такие формулы:

Объем параллелепипеда АВСД А₁В₁С₁Д₁ равен модулю смешанного произведения векторов АВ, АД, АА₁ .

V _А….Д1 = | АВ АД АА₁ |

Объем треугольной призмы АВСА₁В₁С₁ равен половине модуля смешанного произведения векторов АВ, АД, АА₁ .

V _А….С1 = | АВ АД АА₁ | / 2.

Объем тетраэдра АВСД равен одной шестой модуля смешанного произведения векторов АВ, АС, АД .

V _А….Д = | АВ АС АД | / 6.

Площадь параллелограмма АВСД равна длине векторного произведения векторов АВ и АД S_АВСД = | [АВ АД ] |

Площадь треугольника АВС равна половине длины векторного произведения векторов АВ и АС S_АВС = | [АВ АС ] | / 2.

Расстояние от точки А до прямой (ВС) вычисляется по формуле

ρ(А, (ВС)) = | [ВА ВС ] | : | ВС |

Расстояние между скрещивающимися прямыми (АВ) и (СД)

вычисляется по формуле

ρ((АВ), (СД))= | АВ АД ДС | : | [АВ ДС ] |

6.45. Смешанное произведение базисных векторов е₁, е₂, е₃

равно 3. Найти смешанное произведение векторов а, b, с, зная их координаты в базисе {е₁, е₂, е₃}: а) а(2,-3,1), b(1,1,2), с(3,1,-1);

б) а(-2,1,5), b(3,0,2), с(-1,4,2); в) а(1,-1,1), b(5,2,-3), с(1,4,-2);

г) а(0,-3,1), b(2,3,11), с(1,3,5).

6.46. Решить предыдущую задачу, считая, что координаты векторов а, b, с заданы в ортонормированном правом базисе.

6.47. Найти смешанное произведение векторов а, b, с, зная их координаты в ортонормированном левом базисе:

а) а(2,-3,1), b(1,1,2), с(3,1,-1); б) а( ,3,4), b(0,3,0), с(0,4,1).

6.48. В ортонормированном правом базисе даны векторы

а(3,1,2), b(2,7,4), с(1,2,1). Найти координаты векторов

р = (а b с) а + b ; q = 3а - ( с а b) b + с.

ЗАДАЧА

Найти смешанные произведения (2а – b+ с)(а + 5b)(с – а), если b а с = 5.

РЕШЕНИЕ.

Первый способ.

Используя свойства смешанного произведения и тот факт, что смешанное произведение трех комплпнарных векторов равно нулю, преобразуем данной смешанное произведение.

(2а – b+ с)(а + 5b)(с – а) = 2а(а + 5b)(с – а) + (-b)( а + 5b)(с – а) +

с (а + 5b)(с – а) = (2а)а (с – а) + (2а) (5b)(с – а) +(-b)а(с – а) + (-b)(5b)(с – а)+

с а(с – а) + с (5b)(с – а) = 0 + 10а b с - 10а b а - b а с +b а а + 0 + с а с –

с а а + 5 с b с – 5 с b а = 10а b с - b а с – 5 с b а = --10 b а с - b а с – 5 b а с =

- 16 b а с = -16 · 5 = - 80.

(Подчеркнуты смешанные произведения компланарных векторов)

Второй способ.

Т.к. b а с = 5 0, то векторы b, а, с образуют базис Vз. Найдем координаты векторов, входящих в данное смешанное произведение, в базисе {b, а, с}.

х = (2а – b+ с) = - b + 2 а + с х (-1, 2, 1)

у = (а + 5 b) = 5b + а + 0 с у (5, 1, 0)

z = (с – а) = 0 b - 1 а + 1 с z (0, -1, 1)

Так как смешанное произведение трех векторов, заданных своими координатами в некотором базисе, равно произведению определителя, составленному из их координат, на смешенное произведение базисных векторов, то

|

ОТВЕТ. – 80.

6.49. Найти смешанные произведения α = а (b + с)(а + b + с),

β = b (с + а)( b + 2с), γ =(а + b)(а + 2b + с)(с – а). если а b с = 5.

6.50. Пусть а, b, с – произвольные векторы, а α, β, γ – произвольные числа. Доказать, что векторы αа - β b, γ b – αс, β с - γ а компланарны.

6.51. В прямоугольной декартовой системе координат даны координаты точек: А(2,-4,5), В(-1,-3,4), С(2,3,5), М(6,0,-3), N(1,0,1), А₁(0,0,1). Найти объем а) параллелепипеда АВСД А₁В₁С₁Д₁,

б) треугольной призмы АМNА₁М₁N₁, в) тетраэдра АВСД.

ЗАДАЧА

Дан куб АВСД А₁В₁С₁Д₁ с единичной стороной. Базис

{АД, АВ АА₁} – правый. Построить вектор, равный векторному произведению векторов СВ и СС₁.

РЕШЕНИЕ

Обозначим [СВ СС₁] = р. Тогда по определению векторного произведения имеем

1, Длина вектора р равна площади параллелограмма, построенного на векторах СВ и СС₁ ,но этот параллелограмм является квадратом с единичной стороной, поэтому │р│= 1.

2. р СВ, р СС₁, следовательно вектор р коллинеарен вектору СД.

3. Базис { СВ, СС₁ р} правый. Но по условию базис

{АВ, АД, АА₁} – правый, этот базис соответствует левой руке, следовательно базис { СВ, СС₁ р} также соответствует левой руке.

Из 2. и 3. следует, что вектор р = СР = - СД.

6.52. Дан прямоугольный параллелепипед АВСД А₁В₁С₁Д₁, │АВ│= 2, │АД│= 1, │АА1│= ½ . Базис {ВА, ВС ВВ₁} – левый. Построить вектор, равный векторному произведению векторов

а) СД и СС₁, б) Д₁А₁ и ДС , в) В₁С₁ и ВВ₁.

ЗАДАЧА

Найти [(3а + 2 b) (5а – 3b)], если [а b] = с.

РЕШЕНИЕ

Используя свойства векторного произведения, упростим данное векторное произведение.

[(3а + 2 b) (5а – 3b)] = [3а (5а + 3b)] + [2 b (5а - 3b)] = [3а 5а] + [3а 3b] +

[2b 5а ] + [ 2b(- 3b)] = 0 + 9 [а b] + 10 [b а ] - 0 = 9 [а b] -10 [а b] =

- [а b] = -с

ОТВЕТ - с.

6.53. Упростить выражения: а) [(а – b) (а + b)], б) [(а + 2b - с) (а - 2b)],

в) [а (2b + с – 3а)], г) [(а – р) (а - р)].

ЗАДАЧА

В ортонормированном правом базисе даны векторы а(5,1,0),

b(2,2,-1), с(1,-3,1), d(0,0,1). Найти координаты вектора [ [а b ] [с d ]].

РЕШЕНИЕ

1. Сначала найдем координаты векторных произведений [а b ] и [с d ].

| i j k|

[а b ] = | 5 1 0 | = - i + 5j + 8 k [а b ] (-1, 5, 8).

| 2 2 -1 |

| i j k|

[с d ] = | 1 -3 1 | = -3 i - 1j + 0 k [с d ] (-3, -1, 0).

| 0 0 1 |

2. Теперь найдем координаты [ [а b ] [с d ]].

| i j k |

[[а b ] [с d ]] = | -1 5 8 | = 5i - 24j + 16 k [[а b ] [с d ]] (5,-24,16).

|-3 -1 0 |

ОТВЕТ. (5, -24, 16).

6.54. В ортонормированном правом базисе даны векторы а(3,1,2),

b(2,7,4), с(1,2,1). Найти координаты векторов [а b ], [ b с ], [а с ] и их длины.

6.55. В ортонормированном правом базисе даны векторы а(0,1,0),

b(2,-1,3), с(0,5,-2), d(1,2,-3). Найти координаты векторов:

а) [а (b + с) ]; б) [b (d - с) ]; в) [(с - 2d) (с + b) ]; г) [(а+ b)(с + d)].

6.56. В ортонормированном правом базисе даны векторы а(3,0,-1),

b(2,4,3), с(-1,3,2), d(2,0,1). Найти а) координаты вектора [ [а b ] с],

б) скалярное произведение [а с ] · [ b d ].

6.57. Дан ортонормированный базис { i, j, k}. Доказать, что для любых векторов а и b [а b ] = (а b i) i +( а b j) j + (а b k) k.

6.58. Доказать, что для любых векторов а, b и с верно, что:

а) [(а – b)(а + b )] = 2 [а b], б) [(b – а)(с – b)] = [а b] + [ bс] + [с а] .

6.59. Доказать, что если [а b] + [b с] + [с а] = 0, то векторы а, b, с

компланарны.

6.60. Векторы ОА = а, ОВ = b, ОС = с не компланарны. Доказать, что вектор [а b] + [b с] + [с а] перпендикулярен плоскости(АВС).

6.61. Доказать, что а) если а + b + с = 0, то [а b] = [b с] = [с а],

б) если векторы а и b не коллинеарны и [а b] = [b с] = [с а], то

а + b + с = 0.

6.62. Доказать тождества: а) [а b]² + (а b)² = а² b²,

б) [ [а b] с] = b(ас) – а( bс).

ЗАМЕЧАНИЕ. В задачах 63) – 68) система координат прямоугольная декартовая.

ЗАДАЧА

Дана треугольная призма АВСА₁В₁С₁ с основанием АВС. Найти длину ее высоты АН если А(1,0,1), В(5,0,0), С(0,1,2), А₁(3,-1,1).

РЕШЕНИЕ

Объем призмы равен произведению площади основания на высоту, т.е

V_{АВСА1В1С1} = S_АВС АН. (*)

Найдем координаты АВ, АС, АА₁ . АВ(4,0,-1), АС(-1,1,1), АА₁(2,-1,0).

Найдем объем призмы. V_{АВСА1В1С1} = ½ |АВ АС АА₁|.

| 4 0 -1|

АВ АС АА₁= | -1 1 1 | = 5 V_{АВСА1В1С1} = 5/2

| 2 -1 0 |

Найдем площадь основания. S_АВС = | [АВ АС ] | /2.

| i j k |

[АВ АС ] = | 4 0 -1| = i - 5j + 4 k [АВ АС ] (1, -5, 4)

| -1 1 1 |

| [АВ АС ] | = = S_АВС = / 2.

Из формулы (*) следует, что АН = .

ОТВЕТ. АН = .

6.63. Найти площадь треугольника АВС, если а) А(3,4,-1), В(2,0,3),

С(-3,5,4), б) А(-1,1,2), В(1,1,0), С(2,6,-2).

6.64. Найти длину высоты АН тетраэдра АВСД, если А(2,-4,5), В(-1,-3,4), С(5,5,-1), Д(1,-2,2).

6. 65. Дан параллелепипед АВСД А₁В₁С₁Д₁, построенный на векторах

АВ(4,3,0), АД(2,1,2), АА₁(-3,-2,5). Найти а)объем параллелепипеда; б)площади граней, в) высоту, проведенную из вершины А₁ на грань АВСД;

г) косинус угла между ребром АВ и диагональюВ₁Д; д) косинус угла между гранями АВСД и АДД₁А₁.

6.66. Дана треугольная призма АВСА₁В₁С₁ с основанием АВС, построенная на векторах АВ(0,1,-1), АС(2,-1,4), АА₁(-3,2,2). Найти а)объем призмы;

б) площади граней; в) высоту призмы ; г) угол между ребрами В₁С₁ и АА₁.

6.67. Дан тетраэдр АВСД , построенный на векторах АВ(2,0,0), АС(3,4,0), АД(3,4,2). Найти а)объем тетраэдра; б) площади граней; в)высоту ДН;

г) косинус угла между ребрами АВ и ВС; д) угол между гранями АВС и АДС.

6.68. Доказать, что четырехугольник АВСД, где А(2,-3,1), В(-1,1,1), С(-4,5,6), Д(2,-3,6), является плоским и найти его площадь.